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Série entière de rayon nul

darboukadarbouka
dans Analyse
Bonjour,
Dans l'un de mes livres, l'auteur indique comme "évident" qu'une série entière (notée $S$ ) de rayon nul est continue en 0.
J'avoue avoir un peu de mal à comprendre cette notion de continuité en 0: comment peut-on avoir $ \lim\limits_{z \to 0 } S(z) = S(0) $, puisque justement la série entière $S$ est divergente sur $C^{*}$ ?
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ça?

Réponses

  • JLapinJLapin
    Elle est définie sur un singleton, c'est donc une fonction constante, donc continue....
    Je ne vois que ça.
  • darboukadarbouka
    C'est vrai que si elle est constante, ça paraît déjà plus facile de comprendre cette notion de continuité.
    Merci pour ta réponse.
  • YvesMYvesM
    Bonjour,
    Je ne comprends pas votre raisonnement.
    La démonstration constante implique continue utilise la notion de continuité nécessitant un voisinage du point. Non ?
    Les définitions de continuité que je connais ne s’appliquent pas à un singleton.
    Si un lecteur peut nous éclairer.
  • DomDom
    Essayons :

    L’ensemble de définition ($\{0\}$) est un singleton.
    Donc c’est un ouvert (de lui-même en tant qu’espace tout entier) qui contient ce point.
    Donc c’est bien un voisinage de ce point.
    Et il n’existe aucun autre voisinage de ce point.

    Remarque :
    Avec la définition $\varepsilon - \delta$, ça fonctionne, non ?
    J’entends la définition « pointée » (où l’on autorise le point considéré).
  • DomDom
    J’ai retrouvé cette discussion :
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1738778,1739024
  • darboukadarbouka
    Merci Dom d'avoir retrouvé cette discussion, ça correspond tout à fait à ce qui me posait problème.
  • PoirotPoirot
    La notion de continuité se définit en topologie générale, sans $\varepsilon$-$-\delta$. En particulier on peut parler de la continuité d'une application quand l'espace de départ est un singleton muni de sa topologie discrète (qui est aussi sa topologie grossière (:P)). Dans ce cadre, il est trivial de voir que toute application constante est continue.
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