Série entière de rayon nul
Bonjour,
Dans l'un de mes livres, l'auteur indique comme "évident" qu'une série entière (notée $S$ ) de rayon nul est continue en 0.
J'avoue avoir un peu de mal à comprendre cette notion de continuité en 0: comment peut-on avoir $ \lim\limits_{z \to 0 } S(z) = S(0) $, puisque justement la série entière $S$ est divergente sur $C^{*}$ ?
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ça?
Dans l'un de mes livres, l'auteur indique comme "évident" qu'une série entière (notée $S$ ) de rayon nul est continue en 0.
J'avoue avoir un peu de mal à comprendre cette notion de continuité en 0: comment peut-on avoir $ \lim\limits_{z \to 0 } S(z) = S(0) $, puisque justement la série entière $S$ est divergente sur $C^{*}$ ?
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer ça?
Réponses
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Elle est définie sur un singleton, c'est donc une fonction constante, donc continue....
Je ne vois que ça. -
C'est vrai que si elle est constante, ça paraît déjà plus facile de comprendre cette notion de continuité.
Merci pour ta réponse. -
Bonjour,
Je ne comprends pas votre raisonnement.
La démonstration constante implique continue utilise la notion de continuité nécessitant un voisinage du point. Non ?
Les définitions de continuité que je connais ne s’appliquent pas à un singleton.
Si un lecteur peut nous éclairer. -
Essayons :
L’ensemble de définition ($\{0\}$) est un singleton.
Donc c’est un ouvert (de lui-même en tant qu’espace tout entier) qui contient ce point.
Donc c’est bien un voisinage de ce point.
Et il n’existe aucun autre voisinage de ce point.
Remarque :
Avec la définition $\varepsilon - \delta$, ça fonctionne, non ?
J’entends la définition « pointée » (où l’on autorise le point considéré). -
J’ai retrouvé cette discussion :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1738778,1739024 -
Merci Dom d'avoir retrouvé cette discussion, ça correspond tout à fait à ce qui me posait problème.
-
La notion de continuité se définit en topologie générale, sans $\varepsilon$-$-\delta$. En particulier on peut parler de la continuité d'une application quand l'espace de départ est un singleton muni de sa topologie discrète (qui est aussi sa topologie grossière (:P)). Dans ce cadre, il est trivial de voir que toute application constante est continue.
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Bonjour!
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