Déterminer le minimum d'une fonction
Bonjour
par quel moyen on peut déterminer le nombre suivant
$$
c_0^2= \min_{\mu > 0} \dfrac{D_1 \mu^2 (\mu+\beta_1) e^{\mu \tau_1}}{\mu(\mu+\beta_1)+\sigma \beta_1 e^{\mu \tau_1} + a_1 u_0 b_1}
$$
avec $D_1=0.001, \beta_1=0, \sigma=0.4, a_1=10, b_1=5, u_0=1, \tau_1=10$
Cordialement
par quel moyen on peut déterminer le nombre suivant
$$
c_0^2= \min_{\mu > 0} \dfrac{D_1 \mu^2 (\mu+\beta_1) e^{\mu \tau_1}}{\mu(\mu+\beta_1)+\sigma \beta_1 e^{\mu \tau_1} + a_1 u_0 b_1}
$$
avec $D_1=0.001, \beta_1=0, \sigma=0.4, a_1=10, b_1=5, u_0=1, \tau_1=10$
Cordialement
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Réponses
Cordialement.
Sans compter que $\tau_1$ n'est pas explicité, mais il n'intervient que dans un seul terme et peut donc s'apparenter à une constante. .
À bientôt.
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Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Edit: pas vu que $\beta_1=0$... Effectivement, il n'y a plus besoin d'approximer.
Etude de fonction. La dérivée par rapport à $\mu$ est strictement positive quand $\tau_1 \geq 0$ ce que je suppose. Le minimum est donc en $\mu = 0$ et vaut $c_0^2 = 0.$
\min_{\mu > 0} \dfrac{0.001 \mu^3 e^{10 \mu}}{\mu^2+50}.
$$ le minimum est 0.
Cordialement.
$$
f(\mu)= \dfrac{D_1 \mu^3 e^{10 \mu}}{\mu(\mu+0.4)e^{10 \mu} -50}
$$
le signe de la dérivée n'est pas clair
Celle-ci non plus n'a pas de minimum, sa borne inférieure est $-\infty$.
Je suis surpris ... tu n'as pas fait représenter ta fonction par un traceur de courbes quelconque ???
Cordialement.
C'est pourtant simple avec un esclave électronique.
En rebaptisant $x$ la variable, Matlab dit que la dérivée est du signe de $$g(x)-h(x)=0.004e^{10x}-\dfrac{10x+3}{x(5x+4)}.
$$ Géogébra montre alors sur $\mathbb{R_+}$ un unique point d'intersection: $$P(0.625220879629980;2.076633096699590).
$$ Le signe est alors évident.
Cordialement,
Rescassol
Quelle borne $\inf$ vous voyez?
Le point $P$ que j'ai donné plus haut est le point d'intersection des courbes de $g$ et de $h$. Son abscisse est donc la seule racine positive de ta dérivée. A partir de là, tu devrais savoir obtenir les variations de $f$, donc toutes les bornes que tu voudras.
Cordialement,
Rescassol
Arrivé là, on reprend les bonnes habitudes de la fin du lycée (études de fonctions) et on regarde ce qui se passe en la valeur qui annule le dénominateur, et on voit qu'il y a une limite $-\infty$. Et on se repose le problème correctement : Sur quel intervalle va-t-on travailler ? Quel est l'intérêt d'un minimum ? Y en a-t-il un ? Etc.
Mais une vraie réflexion avant éviterait de venir poser des questions qui n'ont pas de sens.
Cordialement.
Ca m'échappe. Je ne comprends pas non plus comment utiliser le $P$ que donne Rescassol
Tu ne vois pas le rapport entre une racine de la dérivée (ici l'abscisse de $P$) et un éventuel minimum local de la fonction ?
Pour ton graphique, il faut adapter l'échelle.
Cordialement,
Rescassol
qui n'est pas correct car c'est négatif et on doit trouver un nombre positif. Il y a une erreur quelque part?
Je trouve $f(0.625220879629980)=0.448703218042130$ (sans $D1$).
Ce nombre est positif.
Cordialement,
Rescassol
$$
f(\mu)= \dfrac{D_1 \mu^3 e^{10 \mu}}{\mu(\mu+0.4)e^{10 \mu} -50}
$$
?
le dénominateur est négatif avec $\mu=0.625$
Pour $x=0.625$, le dénominateur vaut $281.852$
Cordialement,
Rescassol
J'aimerai maintenant savoir svp comment vous avez procédé exactement pour trouver ce min
en utilisant un logiciel en ligne.
Merci beaucoup d'avance
Comme dit ici, j'ai fait calculer la dérivée de $f$ à Matlab, trouvé qu'elle était du signe de $g(x)-h(x)$, puis tracé les courbes de $g$ et $h$ dans Géogébra, qui m'a également donné le point d'intersection $P$.
Cordialement,
Rescassol
Même pas l'idée d'aller voir ce qui se passe sur des intervalles plus réduits ! Il est vrai que quand on parle d'une fonction définie pour $\mu>0$ et qu'on la fait tracer sur [-10, 10] on cherche vraiment à ne rien comprendre ... Et la fonction est tellement nulle qu'elle a une branche qui part vers le haut pour des abscisses entre 0,5 et 1 ! Et bien sûr, c'est tout à fait par hasard qu'il y a un tracé vertical en rouge ...
On dirait du travail de lycéen ! Enfin, du mauvais travail de lycéen ...
Rescassol, tu sembles parler d'un minimum local pour la branche située après l'asymptote verticale. Mais comme avant la fonction tend vers $-\infty$, il n'y a pas de minimum global. la question posée par Ccapucine est résolue par l'absence de signification de la notation.
Indication : Le dénominateur de la fonction (pas la dérivée, mais $f(\mu)= \dfrac{D_1 \mu^3 e^{10 \mu}}{\mu(\mu+0.4)e^{10 \mu} -50}$) est une fonction croissante de $\mu$ qui s'annule pour une valeur $\mu_0$ d'environ 0,478. Il est donc négatif avant et positif après. On en déduit que les limites de $f(\mu)$ à gauche et à droite de $\mu_0$ sont respectivement $-\infty$ et $+\infty$.
Cordialement.
Je suis complétement perdue. Même si c'est fait au lycée, je pose la question pour savoir comment faire.
Je n'ai pas Matlab. Est-ce qu'il y a un logiciel en ligne qui fait ça directement ? Je ne sais pas quel intervalle particulier choisir vu que le min est sur $]0,+\infty[$.
Prenons un nouvel exemple.
Je cherche $\quad \min\limits_{\mu > 0} f(\mu), $ où
$$
f(\mu)=\dfrac{0.001 \mu^3 e^{10 \mu}}{\mu(\mu+0.4)e^{10 \mu}-25}.
$$ Du coup il faut chercher le point $\mu_0$ où $f$ atteint son minimum et là on calculera $\min_{\mu } f(\mu)= f(\mu_0)$ dans le cas où le minimum est atteint. Sinon on calcul la limite.
Voici le graphe fait avec Geogebra.
Je souhaite avoir soit une méthode à la main ou bien une méthode par Geogebra ou par un logiciel en ligne afin d'obtenir soit directement le min de la fonction $f$ ou alors le point où le min est atteint.
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
Ton graphe est faux puisque tu as écrit $0$ au numérateur.
non j’ai mis 0.001 mais des que je mets Entrer
Il affiche 0. Par contre il ne fait pas le graphe avec 0 puisque la courbe en rouge n’est pas identiquement nulle.
Sinon, sur $\left]x_0,+\infty\right[$, la dérivé s'annule en $x_1\simeq0.5637848165167533$ et $f(x_1)\simeq0.394407876460296$ qui est le minimum sur cet intervalle.
Le code Sage, qu'on peut tester sur CoCalc.
Donc avec le logiciel Sage on trouve directement le min de la fonction f sur ]0,+infini[..
Je ne comprends pas ce que vous trouvez suspect.
Sinon s’il vous plaît pouvez vous commentez les lignes de code Sage pour comprendre ce qu’il fait à chaque ligne.
Je vous remercie d’avance pour votre aide.
Ne mets pas sur le même graphique des fonctions qui n’ont pas les mêmes ordres de grandeurs. Trace seulement $f$ : tu devrais voir l’asymptote. Et quand un dénominateur s’annule avec un changement de signe, le minimum n’existe pas.
Tu as $0$ au lieu de $0.001$ dans Géogébra parce qu'il est réglé pour afficher $2$ décimales.
Va dans Options-Arrondi pour modifier ça.
Et je t'ai déjà dit de régler l'échelle, et pas forcément de la même façon sur les deux axes.
Cordialement,
Rescassol
merci beaucoup! C’est plus clair maintenant.
Juste un point. Vous dites que la fonction f n’admet pas de minimum mais alors qu’est ce qui est calculé par sage?
Elle n'a pas de minimum global. Sage a calculé un minimum local.
Cordialement,
Rescassol
je n'arrive pas à télécharger Sage et je n'ai pas compris comment l'utiliser sur Colac
La fonction $f(x)$ est en fait
f(x) = 0.001*x^3*exp(10*x)/(x*(x+0.4)*exp(10*x)-25)
Pouvez-vous s'il vous plaît me donner le résultat pour cette fonction en attendant que je puisse installer Sage
Merci beaucoup d'avance
Du coup on multiplie tous les résultats par 0.001 ce qui donne que
$$
\min_{\mu > 0} f(\mu)= 0.00039
$$
c'est bien correct?
Est-ce que la multiplication par une constante strictement positive change la position des racines de la fonction que cette constante multiplie ?
Au passage, j'ai pris "strictement positif" pour ne pas avoir à discuter qu'un min devient un max et vice-versa.
Ce qui s'applique à la multiplication d'une fonction s'applique à la multiplication de sa dérivée.
À bientôt.
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La question de base "Que vaut $\min_{\mu > 0} f(\mu)$ ?" n'a pas de sens, ce $\min$ n'existe pas.
Combien de fois faudra-t-il te le répéter ?
Change de question si tu veux, mais n'écris pas des âneries.
YvesM svp vous pouvez nous indiquez l'erreur ? J'ai fait un copier-coller de votre code mais en multipliant par 0.001
Pour le graphe de la fonction, j'ai réglé l’arrondi sur Geogebra mais ca donne toujours la courbe zéro, et il n'y a pas de valeurs négatives. Quelqu'un peut-il m'aider à voir le bon graphe avec Geogebra ?
Merci d'avance.
[Cliquer dans l'image pour la voir plus nette. AD]
La fonction est fonction de x sur geogebra, où apparaît ce x en question dans l'expression ?
À bientôt.
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Je n'arrive pas à lire correctement, mais je ne vois pas de x dans l'expression de f(x).
Si tu n'arrives pas à tracer avec géogébra, utilise un autre traceur de courbes, il y en a plein en ligne, par exemple celui-ci ou celui-là (j'ai pris les deux premiers sur ma page de recherche aver "traceur de courbe en ligne".
Cordialement.
J'ai essayé avec un autre logiciel en ligne et pareil
est-ce que quelqu'un peut réussir à dessiner le graphe de la fonction
$$
f(x)=\dfrac{0.001*x^3*exp(10*x)}{x*(x+0.4)*exp(10*x)-25}.
$$ [Cliquer dans l'image pour la voir plus nette. AD]
NB : Ce qui est écrit dans le graphique n'est pas ce qui est écrit au dessus.
Quelqu’un peut il nous monter le bon graphe de la fonction f? Svp
C'est effectivement un problème d'échelle pour l'image de la fonction, dû au fameux coefficient 0.001 dont la pertinence pour la recherche d'extremum a déjà été discutée.
À bientôt.
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Svp YvesM quand j'essaye d'executer le code Sage il me met les erreurs suivantes
pouvez-vous me dire pourquoi ces erreurs? Svp
J'ai une dernière question un peu bête mais je la pose.
Si on pose
f = 0.001*x^3*exp(10*x)/(x*(x+0.4)*exp(10*x)-25)
pour le reste comment on modifie? Je veux dire pour la commandes
x0 = find_root(d,0,1)
elle reste pareil par le graphe, mais pour le reste, quelles modification on apporte? Comment on choisit les points que vous avez mis?
f = 0.001*x^3*exp(10*x)/(x*(x+0.4)*exp(10*x)-25) // Définition de la fonction f
d = x*(x+0.4)*exp(10*x)-25// Définition du dénominateur
x0 = find_root(d,0,1) // Trouver les racine du dénominateur entre 0 et 1 (donc il faut d'abord faire le graphe du dénominateur?
print("denominateur(%s) = %s" % (x0,d.subs(x=x0))) // Ca veut dire quoi?
numerateur_derivee = (diff(f,x)*d^2).factor() // Ca veut dire quoi?
x1 = find_root(numerateur_derivee,0.5,4)// Trouver les racines du numérateur entre 0.5 et 4 (suggéré par un dessin)?
y1 = f.subs(x=x1)//Ca veut dire quoi?
print("annulation de la derivee en %s\nvaleur de la fonction : f(%s) = %s" % (x1,x1,y1))
G = plot(f,0,x0-1e-5)//?
G+= plot(f,x0+1e-5,2.5)//?
G+= point((x1,y1),size=15,color="orange")//?
G+= text("(%.2f,%.2f)" % (x1,y1),(x1,y1+.3),fontsize="large",color="orange")//?
G+= point((x0,0),size=15,color="gray")//?
G+= text("%.2f" % x0,(x0,.3),fontsize="large",color="gray")//?
G.show(ymin=-5,ymax=5)//?
Merci d'avance