Sur l'opérateur laplacien $\Delta_n$
Bonjour,
j'ai deux questions s'il vous plaît, je définit l'opérateur suivante :
$$
A:=\Delta_{n}+P \text { avec } D(A):=\left(H_{0}^{1}(\Omega) \cap H^{2}(\Omega)\right)^{n},
$$ avec $\triangle_{n}:=I_{n} \triangle$ et $D(\triangle):=H_{0}^{1}(\Omega) \cap H^{2}(\Omega)$. ($(\triangle$ c'est l'opérateur laplacien)
je suppose que $0<\lambda_{1}<\lambda_{2} \leq \lambda_{3} \leq \cdots$ sont les valeurs propre de $- \Delta$ et $e_{i} \in D(\triangle)$ sont les vecteurs normaux associé.
1) Pourquoi cette inégalité est vraie : $\langle \Delta_{n} x, x\rangle_{\left(L^{2}(\Omega)\right)^{n}} \leq-\lambda_{1}\|x\|_{\left(L^{2}(\Omega)\right)^{n}}^{2}$ ?
Merci beaucoup en avance.
j'ai deux questions s'il vous plaît, je définit l'opérateur suivante :
$$
A:=\Delta_{n}+P \text { avec } D(A):=\left(H_{0}^{1}(\Omega) \cap H^{2}(\Omega)\right)^{n},
$$ avec $\triangle_{n}:=I_{n} \triangle$ et $D(\triangle):=H_{0}^{1}(\Omega) \cap H^{2}(\Omega)$. ($(\triangle$ c'est l'opérateur laplacien)
je suppose que $0<\lambda_{1}<\lambda_{2} \leq \lambda_{3} \leq \cdots$ sont les valeurs propre de $- \Delta$ et $e_{i} \in D(\triangle)$ sont les vecteurs normaux associé.
1) Pourquoi cette inégalité est vraie : $\langle \Delta_{n} x, x\rangle_{\left(L^{2}(\Omega)\right)^{n}} \leq-\lambda_{1}\|x\|_{\left(L^{2}(\Omega)\right)^{n}}^{2}$ ?
Merci beaucoup en avance.
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Réponses
Pour ta question il suffit de décomposer chaque coordonnée de $x$ dans une base orthonormée de vecteurs propres de $\Delta$ et de dérouler les calculs.
Merci