Valeur d'une série
Bonsoir à tous !!
S'il vous plaît j'ai besoin d'aide pour calculer explicitement la valeur de cette série : $\displaystyle \quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}$.
J'ai pensé au télescopage en décomposant ma suite en éléments simples , j'obtiens :
$$ \frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}= \frac{-1}{n}+\frac{5}{n+1}-\frac{4}{n+2}
$$ mais là je ne vois rien qui puisse m'aider.
J'ai inséré une somme partielle de cette série dans un logiciel de calcul et j'obtiens : $$\sum_{n=1}^{m}\frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}= \frac{-m(m+3)}{2(m+1)(m+2)}+ \frac{3}{2} - \frac{3}{m+2}.
$$ J'aimerais savoir si quelqu'un a l'idée d'une méthode qu'on pourra utiliser pour retrouver étape par étape cette formule.
Toutes suggestions est la bienvenue.
S'il vous plaît j'ai besoin d'aide pour calculer explicitement la valeur de cette série : $\displaystyle \quad \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}$.
J'ai pensé au télescopage en décomposant ma suite en éléments simples , j'obtiens :
$$ \frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}= \frac{-1}{n}+\frac{5}{n+1}-\frac{4}{n+2}
$$ mais là je ne vois rien qui puisse m'aider.
J'ai inséré une somme partielle de cette série dans un logiciel de calcul et j'obtiens : $$\sum_{n=1}^{m}\frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}= \frac{-m(m+3)}{2(m+1)(m+2)}+ \frac{3}{2} - \frac{3}{m+2}.
$$ J'aimerais savoir si quelqu'un a l'idée d'une méthode qu'on pourra utiliser pour retrouver étape par étape cette formule.
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Réponses
Merci @Math Voss.
Si tu écris $5=1+4$ dans le numérateur de la seconde fraction, tu as sous les yeux deux sommes télescopiques.
Merci @YvesM.
\begin{align}\frac{3n-2}{n(n+1)(n+2)}&= \frac{-1}{n}+\frac{5}{n+1}-\frac{4}{n+2}\\
&=4\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)+\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)\\
\end{align}
Ce qui fait apparaître qu'on peut "télescoper".
tu parles de la somme d'une série alors qu'une série est déjà (le plus souvent) une somme infinie de termes
c'est comme si tu parlais de l'intégrale d'une intégrale numérique au lieu de son résultat
en fait une série convergente donne un résultat numérique (sa limite), qui n'est pas une somme
comme une intégrale convergente donne un résultat numérique qui n'est pas une intégrale
cordialement
Et profitons-en pour rappeler que "intégrer" signifie aussi tout simplement "résoudre".
Autrement dit, dès qu'on fait du travail que l'on juge difficile, on est fondé à appeler ça : "intégrer".
Donc "intégrer une intégrale", ça marche bien. Et puis même, "intégrale", ça veut bien dire qu'il s'agit de quelque chose difficile à trouver, puisqu'il n'est pas toujours évident de primitiver ce qu'il y a dedans.