Une identité impliquant la fonction zêta
Bon après-midi !
Quelqu’un peut-il prouver l’identité suivante.
$$\sum_{n=3 \atop n \text{ impair }}^{\infty}\frac{(n-1)\zeta(n+1)}{2^n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\cos(x)\,dx,
$$ où $\zeta(n)$ représente la fonction zêta de Riemann.
Le calcul numérique: SageMathCell.
Quelqu’un peut-il prouver l’identité suivante.
$$\sum_{n=3 \atop n \text{ impair }}^{\infty}\frac{(n-1)\zeta(n+1)}{2^n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2\cos(x)\,dx,
$$ où $\zeta(n)$ représente la fonction zêta de Riemann.
Le calcul numérique: SageMathCell.
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Réponses
$$\sum_{n\geq1}\zeta(2n)x^{2n}=\frac{x}{2}\left(\psi(1+x)-\psi(1-x)\right)$$
Reste à dériver et spécialiser en $1/2$.
\frac{1}{(2n-1)^2}\stackrel{(2)}{=}\frac{\pi^2}{8}$$ pour ecrire\begin{eqnarray*}S&=&\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2k\zeta(2k+2)}{2^{2k+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{k}{(4n^2)^k}\stackrel{(1)}{=}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(4n^2-1)^2}\\&=&\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{(2n+1)^2}-\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n-1}\right)\stackrel{(2)}{=}\frac{\pi^2}{4}-2.\end{eqnarray*}