Sur le lemme de Zorn
Soit $X$ un espace de Banach, $M$ a est un sous-ensemble convexe fermé de $X$ et $T:M\rightarrow M$ une application continue.
Soit $K=\overline{\text{Conv}}(T(M))$.
Considérons maintenant la famille de sous-ensembles suivante de $K$ :
$$
\mathcal{F}:=\{C \subseteq K\mid C \text{ est fermé, convexe et } \mathrm{T}- \text{invariant}\}.
$$ Je veux appliquer le Lemme de Zorn à cette famille. Pour ce faire, j'ai besoin de voir si $\mathcal{F}$ a la propriété d'être inductif ?
Soit $K=\overline{\text{Conv}}(T(M))$.
Considérons maintenant la famille de sous-ensembles suivante de $K$ :
$$
\mathcal{F}:=\{C \subseteq K\mid C \text{ est fermé, convexe et } \mathrm{T}- \text{invariant}\}.
$$ Je veux appliquer le Lemme de Zorn à cette famille. Pour ce faire, j'ai besoin de voir si $\mathcal{F}$ a la propriété d'être inductif ?
"toute chaîne non vide possède un majorant dans $\mathcal{F}$."
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Réponses
On travaille sur ce papier, Theorem $3.1$, les auteurs ont imposé une condition qui me semble "n'est pas nécessaire", la "relative faible compacité de $T(M)$" traduction de "$T(M)$ is relatively weakly compact".
Leur preuve est basée sur Zorn, et apparemment on ne l'a pas utilisé ici.. Que pensez-vous ?
Et c'est pour montrer qu'il existe un minorant qu'ils ont besoin de la compacité faible.
Plus précisément : en faisant l'intersection des éléments de la chaîne on a bien un minorant. Le problème c'est qu'il faut montrer que l'intersection est non-vide. Or étant donné que les éléments de la chaîne sont tous compacts pour la topologie faible, l'intersection ne peut pas être vide.
Donc la compacité faible est bien utilisée.
Edit : D'ailleurs en relisant le théorème 3.1 on s'aperçoit que $K$ est lui-même dans $\mathcal{F}$ et par conséquent appliquer directement Zorn ("à l'endroit") ne sert à rien étant donné que $K$ est déjà un élément maximal...
Merci infiniment.