Oui. Il suffit de justifier que pour tout $a \geq 1$ et tout $x, y > 0$, on a $(x+y)^a \geq x^a + y^a$, ce qui est évident car $$(x+y)^a = (x+y)(x+y)^{a-1} = x(x+y)^{a-1} + y(x+y)^{a-1} \geq x^a + y^a.$$
Pour éviter les malentendus après relecture de mon message, je voulais dire la chose suivante :
A-t-on une inégalité similaire dans le cas $0 < p \leqslant 2$ ? Si non, quelle(s) hypothèse(s) ajouter à la suite $(s_n)$ pour obtenir un tel résultat ?
Je n'ai pas cherché, mais une réponse pourrait être donnée via l'inégalité de Hölder ou, mieux, l'inégalité de l'entropie.
C'est juste la comparaison de $\|s\|_p$ avec $\|s\|_2$.
On sait que si la suite $s$ n'est pas nulle, il suffit de considérer la suite $t=\frac{s}{\|s\|_2}$ qui a le bon goût d'avoir des termes qui sont tous plus petits que $1$ en valeur absolue.
C'est plutot simple. Si $\alpha =p/2\geq 1$ et $u_n=s_n^2$ alors
$$\sum u_n^{\alpha}\leq (\sum u_n)^{\alpha},\ \ (*)$$ dixit Poirot. Et pour repondre a noix de totos, l'inverse de (*) se produit : si $0<\beta<1$ et $v_n>0$ alors $$\sum v_n^{\beta}\geq (\sum v_n)^{\beta}$$ qui se voit en appliquant (*) a $\alpha=1/\beta$ et $u_n=v_n^{\beta}.$
Je connais bien cette inégalité, aussi je précise la question : déterminer une constante $C_p$ de sorte que
$$\sum_{n=1}^\infty s_n^p \leqslant C_p \left( \sum_{n=1}^\infty s_n^2 \right)^{p/2}$$
avec $0 < p < 2$ (on pourra au besoin ajouter des hypothèses sur la série de terme général $s_n^2$).
Je précise aussi qu'il y a certainement plusieurs réponses possibles, et que j'en ai au moins une.
Par exemple l'existence d'un réel $\lambda > 0$ tel que, pour tout $n$, $\sum_{k > n} s_k^2 \leqslant \lambda s_n^2$.
Bref, l'inégalité de l'entropie (enfin, c'est comme ça que je l'appelle, il y a peut-être d'autres noms, mais je ne les connais pas), comme je l'ai dit plus haut. Mais il y a peut-être d'autres méthodes (peut-être voir du côté de Polya-Szegö).
L'inégalité de l'entropie, utilisée avec la série de terme général $s_n^2$ supposée convergente, telle que $s_n \geqslant 0$ et telle qu'il existe $\lambda > 0$ tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on ait $\sum_{k > n} s_k^2 \leqslant \lambda s_n^2$, implique que, pour tout $0 < p \leqslant 2$
$$\sum_{n=0}^\infty s_n^p \leqslant \left( (\lambda+1)^{p/2} - \lambda^{p/2} \right)^{-1} \left( \sum_{n=0}^\infty s_n^2 \right)^{p/2}.$$
Réponses
A-t-on une inégalité similaire dans le cas $0 < p \leqslant 2$ ? Si non, quelle(s) hypothèse(s) ajouter à la suite $(s_n)$ pour obtenir un tel résultat ?
Je n'ai pas cherché, mais une réponse pourrait être donnée via l'inégalité de Hölder ou, mieux, l'inégalité de l'entropie.
On sait que si la suite $s$ n'est pas nulle, il suffit de considérer la suite $t=\frac{s}{\|s\|_2}$ qui a le bon goût d'avoir des termes qui sont tous plus petits que $1$ en valeur absolue.
$$\sum u_n^{\alpha}\leq (\sum u_n)^{\alpha},\ \ (*)$$ dixit Poirot. Et pour repondre a noix de totos, l'inverse de (*) se produit : si $0<\beta<1$ et $v_n>0$ alors $$\sum v_n^{\beta}\geq (\sum v_n)^{\beta}$$ qui se voit en appliquant (*) a $\alpha=1/\beta$ et $u_n=v_n^{\beta}.$
Je connais bien cette inégalité, aussi je précise la question : déterminer une constante $C_p$ de sorte que
$$\sum_{n=1}^\infty s_n^p \leqslant C_p \left( \sum_{n=1}^\infty s_n^2 \right)^{p/2}$$
avec $0 < p < 2$ (on pourra au besoin ajouter des hypothèses sur la série de terme général $s_n^2$).
Je précise aussi qu'il y a certainement plusieurs réponses possibles, et que j'en ai au moins une.
De plus, dans ce que j'ai trouvé, il faut une condition supplémentaire concernant les restes $\sum_{k > n} s_k^2$.
Bref, l'inégalité de l'entropie (enfin, c'est comme ça que je l'appelle, il y a peut-être d'autres noms, mais je ne les connais pas), comme je l'ai dit plus haut. Mais il y a peut-être d'autres méthodes (peut-être voir du côté de Polya-Szegö).
L'inégalité de l'entropie, utilisée avec la série de terme général $s_n^2$ supposée convergente, telle que $s_n \geqslant 0$ et telle qu'il existe $\lambda > 0$ tel que, pour tout $n \in \mathbb{N}$, on ait $\sum_{k > n} s_k^2 \leqslant \lambda s_n^2$, implique que, pour tout $0 < p \leqslant 2$
$$\sum_{n=0}^\infty s_n^p \leqslant \left( (\lambda+1)^{p/2} - \lambda^{p/2} \right)^{-1} \left( \sum_{n=0}^\infty s_n^2 \right)^{p/2}.$$