Encadrement et irrationnalité d'un nombre

Pour la première question il s'agit de connaître une caractérisation des rationnels par leurs développements décimaux.

Pour la seconde question il doit suffire de calculer les quelques premières décimales.

Le b) est facile, il suffit de connaître les premiers nombres premiers.

Pffff... C'est pénible à démontrer la 1). $\beta$ non décimal ok mais irrationnel...

En tout cas clairement l'infinité des nombres premiers ne va pas suffire. Je me demande quand même si la personne qui a écrit cet exo n'a pas fait un lapsus avec "décimal".

Les notations sont celles du premier message du fil. Supoosons que ce nombre $\beta$ est rationnel. Son développement décimal est périodique à partir d'un certain rang (ce résultat est assez connu pour le coup) d'où deux entiers $p,q>1$ et des entiers $c_1< c_2 ...<c_k$ de $0,...,q-1$ tels que pour tout $n \in \N$ supérieur à $p$, $n$ est premier si et seulement si il est de la forme $qm+c_i$ pour certains $m\in \N, i \in \{1,...,k\}$ (*).

$\{c_1,...,c_k\}$ n'est pas vide sinon l'ensemble des nombres premiers est fini (ils seraient tous inférieurs à $p$, je pense que c'était cela l'intention de l'auteur de l'exo).

Or soit $r$ un nombre premier ne divisant pas $q$ (puisque leur nombre est infini). Alors $r$ est inversible modulo $q$. Soit $i\leq k$; il existe donc un entier $s$ tel que $c_i = rs$ modulo $q$ et ceci entraîne que pour tout entier $n$, $r(s+nq)$ est à la fois composé et de la forme $qm+c_i$ pour un certain $i$. Ceci est incompatible avec (*) ci-dessus.

@Guego: simple et efficace!

Peut-on aller plus loin et démontrer (par exemple) que $\beta^2\notin\Q$ ?

Je n'y ai pas encore réfléchi, mais je pense que l'on devrait pouvoir adapter l'une des preuves précédentes.

Hum, $\beta := \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{b_n}{10^n}$ où $b_n = 1$ si $n$ est premier, $0$ sinon. Et donc, $\displaystyle \beta^2 = \sum_{p \in \mathbb{N}} \frac{b_p}{10^p} \sum_{q \in \mathbb{N}} \frac{b_q}{10^q} = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{1}{10^n}\sum_{\substack{p,q\\p+q = n}} b_pb_q = \sum_{n \in \mathbb{N}} \frac{gold(n)}{10^n}$ où $gold(n)$ désigne le nombre de couples de premiers $(p,q)$ tels que $p+q = n$.

Les problèmes qui font intervenir des sommes de deux premiers sont plutôt faciles, d'habitude, non :-D ?

EDIT : Qui a mis un peu de temps (comme moi) à trouver un entier tel que lui, son successeur, le successeur de son successeur, etc. $127$ fois peut s'intéresser à $127!$.