Homotopie de chemins et surjectivité
Bonjour
Soit $\gamma : [0,1] \to \C$ un lacet continu. Soit $O$ la composante connexe non bornée de $\C\setminus \gamma([0,1])$. Alors $K=\C\setminus O$ est un compact simplement connexe donc si $a\in K$, $\gamma$ est homotope au lacet constant égal à $a$ dans $K$.
Ma question est la suivante, si je note $H : [0,1] \times [0,1] \to K$ une homotopie joignant $\gamma$ à $a$ (où je note encore $a$ le lacet constant égal à $a$), la fonction $H$ est-elle nécessairement surjective ?
Quand je visualise le truc, j'ai l'impression que oui... Mais quelques exemples forcément simples (pour ne pas dire simplistes) sur des dessins ne sont pas une preuve... J'ai pensé à un raisonnement de connexité (montrer que l'image est ouverte et fermée dans $K$), mais je sèche complètement.
Déjà, si c'est faux et que vous avez un contrexemple, ça m'évitera de chercher en vain une preuve... Et si c'est juste, une idée d'argument m'aiderait aussi beaucoup.
Bonne semaine à tous !
Soit $\gamma : [0,1] \to \C$ un lacet continu. Soit $O$ la composante connexe non bornée de $\C\setminus \gamma([0,1])$. Alors $K=\C\setminus O$ est un compact simplement connexe donc si $a\in K$, $\gamma$ est homotope au lacet constant égal à $a$ dans $K$.
Ma question est la suivante, si je note $H : [0,1] \times [0,1] \to K$ une homotopie joignant $\gamma$ à $a$ (où je note encore $a$ le lacet constant égal à $a$), la fonction $H$ est-elle nécessairement surjective ?
Quand je visualise le truc, j'ai l'impression que oui... Mais quelques exemples forcément simples (pour ne pas dire simplistes) sur des dessins ne sont pas une preuve... J'ai pensé à un raisonnement de connexité (montrer que l'image est ouverte et fermée dans $K$), mais je sèche complètement.
Déjà, si c'est faux et que vous avez un contrexemple, ça m'évitera de chercher en vain une preuve... Et si c'est juste, une idée d'argument m'aiderait aussi beaucoup.
Bonne semaine à tous !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
NB: Mon argument suppose que $a\notin \gamma = H(0,\_)$.
De plus je n'arrive pas à visualiser ton contre-exemple.
Frédéric Bosio, je ne comprends pas votre contrexemple. Pouvez-vous détailler un peu s'il vous plaît ?
Bonne nuit à tous !
Pour l'exemple de Frédéric Bosio on peut faire comme suit. On parcourt le cercle unité dans le sens trigonométrique en partant de $1$ puis on parcours le cercle de centre $1/3$ de rayon $2/3$ dans le sens inverse. On obtient bien un lacet qui ressemble à un croissant le lune dont les pointes se rejoignent. L'indice de ce lacet par rapport à $0$ est $0$ et on peut tout déplier sans jamais passer par le point $0$.
Est-ce que c'est effectivement un contre-exemple ? Cela demanderait de clarifier l'énoncé de gimax selon moi. Dans l'exemple de Frédéric Bosio quel est le $K$ considéré ? Si c'est le disque unité alors le contre-exemple est bon. Si c'est l'ensemble des points d'indice $1$ alors la démonstration de Foys devrait répondre à la question.
[Contenu du pdf joint. AD]
Encore merci et bonne semaine à tous.