Encadrement et irrationnalité d'un nombre
Bonjour à tous,
Je sèche sur cet exercice... Pourriez-vous m'aider ?
Merci d'avance !
Je sèche sur cet exercice... Pourriez-vous m'aider ?
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Réponses
Pour la seconde question il doit suffire de calculer les quelques premières décimales.
En quoi l'indication du prof peut m'aider (utiliser sans preuve qu'il existe une infinité de nombres premiers) ? En fait je ne sais pas comment commencer l'exo qu'est-ce que je dois poser en premier ?
Mille mercis pour votre aide !!!
$\{c_1,...,c_k\}$ n'est pas vide sinon l'ensemble des nombres premiers est fini (ils seraient tous inférieurs à $p$, je pense que c'était cela l'intention de l'auteur de l'exo).
Or soit $r$ un nombre premier ne divisant pas $q$ (puisque leur nombre est infini). Alors $r$ est inversible modulo $q$. Soit $i\leq k$; il existe donc un entier $s$ tel que $c_i = rs$ modulo $q$ et ceci entraîne que pour tout entier $n$, $r(s+nq)$ est à la fois composé et de la forme $qm+c_i$ pour un certain $i$. Ceci est incompatible avec (*) ci-dessus.
Si $\beta$ est rationnel alors son développement décimal est périodique de période $T\in \N^{*}$ à partir d'un certain rang et par conséquent il existe un nombre premier $p$ tel que pour tout $k\geq 0, p+kT$ est premier. Or en prenant $k=p$ on voit que ceci est absurde.
Je n'y ai pas encore réfléchi, mais je pense que l'on devrait pouvoir adapter l'une des preuves précédentes.
Les problèmes qui font intervenir des sommes de deux premiers sont plutôt faciles, d'habitude, non :-D ?
EDIT : Qui a mis un peu de temps (comme moi) à trouver un entier tel que lui, son successeur, le successeur de son successeur, etc. $127$ fois peut s'intéresser à $127!$.
D'après la remarque de Guego, $\beta$ est un nombre transcendant. En effet, pour tout $n\in\mathbb N$, soit $k_n$ un entier pour lequel il y a une suite de $n!$ zéros consécutifs à partir de la $k_n$-ème décimale. On a alors
$$\left|\beta-\sum_{j=0}^{k_n-1}\frac{b_j}{10^j}\right|=\left|\sum_{j>k_n+n!}\frac{b_j}{10^j}\right|\le\left|\frac1{10^{n!}}\right|.$$
Cela contredit le théorème de Liouville. En fait, β est un nombre de Liouville.
On peut prendre $k_n=(n!)!$.