Limite d'une fonction définie par intégrale
dans Analyse
Limite de l'intégrale suivante.
intégrale de a à b de f(x; t) dt
avec a = moins rac carrée de x
b = racine carrée de x
f (x; t) = e^(-t)rac carrée de x * (1 + t / racine carrée de x)^x
Je souhaiterais savoir quelle méthode adopter pour trouver la limite quand x tend vers + l'infini.
Je pensais à un changement de variable mais je ne trouve rien de simple afin d'obtenir une primitive, de calculer puis de passer à la limite pour la fonction puis pour les bornes.
Je pensais à u = t rac carrée x.
intégrale de a à b de f(x; t) dt
avec a = moins rac carrée de x
b = racine carrée de x
f (x; t) = e^(-t)rac carrée de x * (1 + t / racine carrée de x)^x
Je souhaiterais savoir quelle méthode adopter pour trouver la limite quand x tend vers + l'infini.
Je pensais à un changement de variable mais je ne trouve rien de simple afin d'obtenir une primitive, de calculer puis de passer à la limite pour la fonction puis pour les bornes.
Je pensais à u = t rac carrée x.
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Réponses
Je regarderai quand quelqu'un aura la patience et la gentillesse de mettre en Latex.
Pour Poirot : Il n'y a aucune nécessité de rajouter des parenthèses, Mathssympas a bien écrit ce que dit HT.
Cordialement.
$$\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}e^{-t}\sqrt{x}\left(1+\frac{t}{\sqrt{x}}\right)^xdt=x\int_{-1}^1e^{-u\sqrt{x}}(1+u)^xdu\geq x\int_{0}^1e^{-u\sqrt{x}+xu\log 2}du\to_{x\to \infty}\infty.$$
Même pas besoin de transformer l'intégrale.
De mémoire, il faut effectivement être subtil, mais (après vérification dans mes feuilles d'exercices) on peut dominer par la fonction qui à $t$ négatif associe $e^{-\frac{t^2}{2}}$ et à $t$ positif associe $(1+t)e^{-t}$.
Remarque : cette domination ne serait pas valable pour l'intégrale de $-\sqrt x$ à $+\infty$ alors que celle proposée par bisam serait encore valable.
en fait c'est exponentielle de (moins t multiplié par racine carrée de x)
La suite a été bien écrite en latex.
Mathssympas, contrairement à ce que tu dis, ici, tu as $\LaTeX$.
Il suffit d'encadrer tes expressions par des dollars.
Cordialement,
Rescassol
Quand on écrit en LaTeX le rendu ("aperçu") permet de savoir ce qui sera écrit, et si on écrit e^{-t}rac carrée de x , plus exactement e^{-t}\sqrt{x} on aura $e^{-t}\sqrt{x}$, qui est exactement ce qui était écrit (par erreur) au départ.
Cordialement.
NB : En cliquant sur "citer" tu auras le texte que j'ai écrit, tu verras comment j'ai obtenu la formule LaTeX