Rang d'une matrice

OShine
OShine
dans Algèbre
Bonsoir,

Je bloque sur cet exercice et je ne trouve pas d'idées.127284

Réponses

  • Guego
    Guego
    Soit $u$ et $v$ les endomorphismes canoniquement associés à $A$ et $B$. $uv = 0$ implique que $Im(v) \subset \ker(u)$. Dans une base de $\R^n$ dont les $\dim(\ker(u))$ premiers vecteurs forment une base de $\ker(u)$, à quoi ressemblent les matrices de $u$ et de $v$ ? Que nous apporte alors la condition $u+v$ bijective ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Dans le cas général on a $rang(A+B)\leq rang(A)+rang(B)$,
    et $rang(A)+rang(B)\leq n+ rang(A B)$ pour des matrices de taille $ n.$

    L’exercice est donc une application de ces formules.

    Ne reste plus qu’à les démontrer si elles ne sont pas dans ton cours.
  • OShine
    OShine
    D'accord merci pour l'indication.

    On a $u \circ v=0$. Je ne vois pas à quoi sert la relation $Im(v) \subset \ker(u)$ :-S

    Soit $(e_1, \cdots, e_p)$ une base de $\ker (u)$. On la complète en une base de $E$ qui est $B=(e_1, \cdots, e_p,e_{p+1}, \cdots ,e_n)$

    Notons $U=Mat_B(u)$ et $V=Mat_B(v)$

    Par définition, $\forall k \in [|1,p|]$ on a $u(e_k)=0$. Donc $U= \begin{pmatrix} O_{p,p} & X \\ O_{n-p,p} & Y \end{pmatrix} $ où $(X,Y) \in \mathcal M_{p,n-p} (\R) \times \mathcal M_{n-p,p} (\R)$

    Je n'arrive pas à expliciter la matrice $V$ :-S

    @Yves
    Ces formules ne sont pas dans le cours.
  • Poirot
    Poirot
    Tu ne connaîtrais pas une quantité $f(A)$ telle que $\mathrm{rang}(A) + f(A) = n$ ? C'est la toute première idée à avoir.
  • OShine
    OShine
    Poirot je ne vois pas.
  • JLapin
    JLapin
    Regarde le chapeau de ton exo.
    Et maintenant que tu as acté que les formules proposées par Yves ne sont pas dans ton bouquin, que penses-tu que tu pourrais faire ?
  • Poirot
    Poirot
    C'est dingue que tu connaisses toujours pas ton cours de MPSI alors que tu ne fais que ça depuis des années. En plus il y a tellement d'indications de notre part, et de la part du site d'exos que ça en devient affolant.
  • OShine
    OShine
    Il n'y a rien qui m'aide à résoudre l'exercice dans le cours de mpsi ni a répondre à ta question Poirot.

    J'ai le cours sous les yeux.

    L'indication de Guego était détaillée mais je n'ai pas réussi a avancer plus. Je reste bloqué.
  • etanche
    etanche
    YvesM a écrit:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2310620,2310650#msg-2310650
    $rang(A)+rang(B)\leq n+ rang(A B)$

    Inégalité de Sylvester
  • Poirot
    Poirot
    OShine a écrit:
    Il n'y a rien qui m'aide à résoudre l'exercice dans le cours de mpsi ni a répondre à ta question Poirot.

    J'ai le cours sous les yeux.

    C'est très grave. Tu ne connais aucune formule qui te dit que $n = \mathrm{rang}(A) +$ ???
  • JLapin
    JLapin
    @OS : relis attentivement le chapeau de l'exo...
  • JLapin
    JLapin
    Poirot écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2310620,2310722#msg-2310722
    [Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]
    Probablement rien qui s'appelle $f(A)$ comme tu le suggérais dans ton message initial :)
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Si c'est le fait que Poirot l'ait appelé $f(A)$ qui pose problème à OShine, c'est plus grave que ce que je pensais...
  • OShine
    OShine
    $f(A)=\dim \ker (A)$
  • OShine
    OShine
    Soit $u$ l'endomorphisme canoniquement associé à $A$ et $v$ celui à $B$.

    On a $u \circ v=0$ donc $Im(v) \subset \ker (u)$. En effet, soit $y \in Im(v)$ alors il existe $x \in E$ tel que $y=v(x)$. Donc $u \circ v(x)=u(y)=0$ donc $y \in \ker(u)$.

    Ainsi, $\dim Im(v) \leq \dim \ker(u)$ soit $rg(v) \leq \dim \ker(u)$

    Donc $rg(u) + rg(v) \leq \dim \ker(u)+ rg(u)$

    Le théorème du rang donne $ \ker(u)+ rg(u)=n$ donc $\boxed{rg(u) + rg(v) \leq n}$

    Il reste la seconde inégalité, j'y réfléchis.
  • OShine
    OShine
    Comme $u+v$ est inversible, alors $u+v$ est bijectif, son noyau est réduit au vecteur nul donc $rg(u+v) =n$

    Montrons que $Im(u+v) \subset Im(u)+Im(v)$

    Soit $y \in Im(u+v)$. Alors il existe $x \in E$ tel que $y=(u+v)(x)=u(x)+v(x)$. Ainsi, $u(x) \in Im(u)$ et $v(x) \in Im(v)$ donc $y \in Im(u+v)$

    Donc $rg(u+v) =n \leq \dim (Im(u) +Im(v) )$

    Mais on sait que $\dim( F+G)= \dim F + \dim G- \dim F \cap G $ d'où $\boxed{n \leq rg(u)+rg(v)}$

    On a montré $n=rg(u)+rg(v)$ soit $\boxed{n=rg(A)+rg(B)}$
  • Zgrb
    Zgrb
    Sinon tu suis les conseils de Yves.
    Tu démontres les formules (qui ne sont peut être pas dans ton cours (?) mais qui sont à ta portée et utiles), puis tu les appliques !
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