Application surjective

Mister Da · October 2021

Bonjour,
en se donnant $n$ fonctions $f_1,\dots,f_n\in L^2(\mathbb{C})$ linéairement indépendantes et un réel $t$, on considère l'application linéaire suivante
\[
\begin{array}{rrcl}
\varphi\colon &L^2(\mathbb{C}) & \to & \mathbb{C}^n\\
&u & \mapsto & (\,(f_1\star u)(t),\dots,(f_n\star u)(t)\,),
\end{array}

\] où le symbole $\star$ désigne le produit de convolution. J'ai pris $L^2$ un peu au pif mais on devrait pouvoir prendre $L^p$ pour les fonctions $f$, $L^q$ pour $u$ avec $p$ et $q$ conjugués.

Je me demande si cette application est surjective. Comme ça m'arrangerait qu'elle le soit je postule que oui.
Pour cela j'ai voulu montrer que la famille $(\,\varphi(f_1),\dots,\varphi(f_n)\,)$ de vecteurs de $\mathbb{C}^n$ était libre donc génératrice mais je ne m'en suis pas sorti.
Sans aucune conviction, j'ai également considéré $L^\infty$ pour les fonctions $f$ et $L^1$ pour $u$ et j'ai essayé de faire des choses avec des approximations de l'unité en vain.

Mon postulat a-t-il une chance d'être vrai et si oui pourriez-vous m'éclairer sur une démonstration ?
Je vous remercie par avance pour vos précieuses lumières.
Cordialement,
Mister Da

Poirot · October 2021

Ton idée de montrer que la famille est libre est la bonne. En effet, soit $\lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb C$ tels que $\sum_{i=1}^n \lambda_i f_i\star u = 0$. Alors pour (presque) tout $x \in \mathbb R$, on a $$\int_{\mathbb R} \left(\sum_{i=1}^n \lambda_i f_i (y)\right) u(x-y) \,\mathrm{d}y = 0.$$ Ceci étant vrai pour tout $u \in L^2(\mathbb R)$, on en déduit que $\sum_{i=1}^n \lambda_i f_i = 0$ dans $L^2$ (puisque le produit scalaire est défini), d'où les $\lambda_i$ sont nuls par hypothèse.

Foys · October 2021

Ca va être le cas.
On fixe $f_1,...,f_n$ et $t$ comme dans l'énoncé.
Soit $V$ l'espace vectoriel engendré par $f_1,...,f_n$ dans $L^2(\C)$. Alors par hypothèse, $(f_1,...,f_n)$ est une base de cet espace et $a,b \in V \mapsto \int_{\R}b(x) \overline {a(x)} dx$ est un produit scalaire hermitien. $(f_1,...,f_n)$ possède une base duale et par le théorème de Riesz, on peut identifier $V$ et son dual via ce produit scalaire et donc il existe des éléments $g_1,...,g_n$ de $V$ tels que pour tous $i,j$, $\int_{\R} f_i(x) \overline {g_j(x)} dt =1$ si $i=j$ et $0$ si $i\neq j$. Soient $\lambda_1,...\lambda_n \in \C$. Soit $u:= x\in \R \mapsto \sum_{k=1}^n \lambda_i \overline{g_k (t - x)}$.
Alors $\int_{\R} f_k (x) u(t-x) dx = \lambda_k$ pour tout $k$, ce qui est la relation cherchée.

EDIT: Poirot est allé plus vite!

Mister Da · October 2021

Merci énormément ! C'est l'argument "puisque le produit scalaire est défini" qui m'avait manqué. Maintenant que tu me l'as soufflé ça parait tellement évident pour autant je n'y aurais probablement jamais pensé. Tu viens de me faire gagner une bonne nuit !

Cordialement,
Mister Da

Mister Da · October 2021

Re,
Je viens seulement de voir le message de Foys. Merci !
Cordialement,
Mister Da

Mister Da · October 2021

Bonjour,

je viens de remettre tout à plat. Je pense avoir bien compris le message de Foys.

Par contre j'ai un problème avec le message de Poirot. Je ne comprends pas le tout début, la phrase qui commence par "En effet..." J'ai l'impression qu'il y a un qui pro quo sur la famille considérée et hier, pensant un truc faux, j'ai lu trop vite son message.

Poirot, de ce que je comprends, tu montres que pour tout $u$ de $L^2(\mathbb{C})$ la famille de fonctions $(f_1\star u,\dots,f_n\star u)$ est libre. Je n'arrive pas à voir le lien avec la surjectivité de $\varphi$.

Désolé pour ma lenteur.
Cordialement,
Mister Da