Divergence de la suite $\big((-1)^n\big)$
Bonjour,
Je souhaite montrer que la suite $((-1)^n)$ diverge en utilisant la définition de la convergence donnée au lycée :On dit que $(U_n)$ tend vers $L$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes de $(U_n)$ à partir d'un certain rang.La preuve suivante vous parait-elle correcte ?
Raisonnons par l'absurde, supposons qu'il existe $L\in\R$ tel que $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty } (-1)^n=L$
Considérons l'intervalle ouvert $]L-1,L+1[$, alors il existe un rang $N$ tel que pour tout $n\geq N,\ (-1)^n \in\, ]L-1,L+1[$.
$2N\geq N$ et $\ 2N+1\geq N$ d'où :
Mais alors $L\in\, ]0,2[\, \cap\, ]-2,0[\, =\emptyset$, ce qui est absurde.
Je souhaite montrer que la suite $((-1)^n)$ diverge en utilisant la définition de la convergence donnée au lycée :On dit que $(U_n)$ tend vers $L$ si tout intervalle ouvert contenant $L$ contient tous les termes de $(U_n)$ à partir d'un certain rang.La preuve suivante vous parait-elle correcte ?
Raisonnons par l'absurde, supposons qu'il existe $L\in\R$ tel que $\displaystyle\lim\limits_{n \to +\infty } (-1)^n=L$
Considérons l'intervalle ouvert $]L-1,L+1[$, alors il existe un rang $N$ tel que pour tout $n\geq N,\ (-1)^n \in\, ]L-1,L+1[$.
$2N\geq N$ et $\ 2N+1\geq N$ d'où :
$(-1)^{2N} \in\, ]L-1,L+1[\quad$ et $\quad (-1)^{2N+1} \in\, ]L-1,L+1[$
autrement dit
$L-1<1<L+1\quad$ et $\quad L-1<-1<L+1$
ainsi
$-1<1-L<1\quad$ et $\quad -1<-1-L<1$
et donc
$L\in\, ]0,2[\quad$ et $\quad L\in\, ]-2,0[$
Mais alors $L\in\, ]0,2[\, \cap\, ]-2,0[\, =\emptyset$, ce qui est absurde.
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Réponses
Je pense que c'est correct mais incomplet. Il reste à traiter les cas $L = \pm \infty$, n'est-ce pas ?
Une autre façon est de dire :
si $L\geq 0$, on choisit l'intervalle $]L/2,3L/2[$ ouvert et centré en $L$, et donc, pour $n=2N+1$, $-1 > L/2 \geq 0$ : contradiction.
de même dans l'autre cas.
Or pour tout $n$, l'écart entre $u_n$ et la limite supposée $\ell$ est constant égal à $1$ donc il ne tend pas vers $0$.
Le but est effectivement de s'en tenir au niveau lycée, donc pas de suite de cauchy, ni valeurs d'adhérence, et c'est pourquoi je m'en suis tenu à la définition du programme.
En fait l'exercice ne demande que d'établir que la suite diverge, pas qu'elle n'a pas de limite. Pour conclure à ce dernier point le plus naturel (je pense) serait de montrer qu'une suite bornée ne diverge pas vers l'infini.
Je pense que tu peux simplifier ta démonstration :
Tu as montré $1<L+1$ et $L-1<-1$ :
Tu conclus donc, directement, $0<L<0$ : contradiction.
Tu auras à expliquer cette contradiction… mais ça termine la démonstration.
Il en est de même de la suite $v=((-1)^{n+1})_{n\in\N}$
La suite $v+u$ est constante. Elle converge vers $0$. Elle converge vers $2L$. Donc $L=0$.
La suite $u^2$ converge vers $L^2 = 0$. Elle est constante et converge vers $1$.
Donc $0=1$.
e.v.
Donc je suis le pape.
Il n’empêche qu’avec cette égalité (pas la blague, je ne la connaissais pas), j’ai réussi à tirer un sourire à notre prof de prépa à l'époque. :-D
-- Schnoebelen, Philippe
Si $1=0$, alors tu n'es rien.
e.v.
Le pape et moi sommes deux, comme 2=1, je suis le pape.
-- Schnoebelen, Philippe
Si $u=((-1)^n)_{n\in\N}$ converge alors la série de terme général $u_n$ converge également car les sommes partielles sont $1,0,1,0,...$ image de $(u_n)$ par $x\mapsto \dfrac{x+1}{2}$. Or le terme général de cette série ne tend pas vers $0$.
PS. et le pape n'est rien...