Limite d'une fonction définie par intégrale
dans Analyse
Limite de l'intégrale suivante.
intégrale de a à b de f(x; t) dt
avec a = moins rac carrée de x
b = racine carrée de x
f (x; t) = e^(-t)rac carrée de x * (1 + t / racine carrée de x)^x
Je souhaiterais savoir quelle méthode adopter pour trouver la limite quand x tend vers + l'infini.
Je pensais à un changement de variable mais je ne trouve rien de simple afin d'obtenir une primitive, de calculer puis de passer à la limite pour la fonction puis pour les bornes.
Je pensais à u = t rac carrée x.
intégrale de a à b de f(x; t) dt
avec a = moins rac carrée de x
b = racine carrée de x
f (x; t) = e^(-t)rac carrée de x * (1 + t / racine carrée de x)^x
Je souhaiterais savoir quelle méthode adopter pour trouver la limite quand x tend vers + l'infini.
Je pensais à un changement de variable mais je ne trouve rien de simple afin d'obtenir une primitive, de calculer puis de passer à la limite pour la fonction puis pour les bornes.
Je pensais à u = t rac carrée x.
Réponses
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Souvent les limites d'intégrales qu'on demande de calculer ne se trouvent pas avec des primitives explicites.
Je regarderai quand quelqu'un aura la patience et la gentillesse de mettre en Latex. -
$\displaystyle \int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} e^{-t}\sqrt{x} \bigg(1+ \dfrac{t}{\sqrt{x}} \bigg)^x dt$ si j'ai bien lu.
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Tu pourrais faire un effort sur le parenthésage. J'interprète ton intégrale comme celle-ci : $$\int_{-\sqrt x}^{\sqrt x} e^{-t \sqrt x} \left(1+\frac{t}{\sqrt x}\right)^x \,\mathrm{d}t,$$ c'est bien ça ?
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Dans les deux cas, on peut s'assurer que l'intégrale du côté t>0 est positive, puis montrer que l'autre partie tend vers l'infini (il y a une minoration évidente pour x>1 par e-t Non, ça c'est faux !) .
Pour Poirot : Il n'y a aucune nécessité de rajouter des parenthèses, Mathssympas a bien écrit ce que dit HT.
Cordialement. -
Peut-être plutôt $\frac{t}{\sqrt{x}}$.
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Pas tres interessant. Peut etre une erreur d'enonce? Dans la version HT : pour $0<u<1$ on a $\log(1+u)\geq u\log 2$ et donc
$$\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}e^{-t}\sqrt{x}\left(1+\frac{t}{\sqrt{x}}\right)^xdt=x\int_{-1}^1e^{-u\sqrt{x}}(1+u)^xdu\geq x\int_{0}^1e^{-u\sqrt{x}+xu\log 2}du\to_{x\to \infty}\infty.$$ -
Je pense que c'est Poirot qui a su deviner le bon énoncé.
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Si c'est le cas, mathssympas a mal écrit ses parenthèses...
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Il suffit d'utiliser le théorème de convergence dominée de Lebesgue.
Même pas besoin de transformer l'intégrale. -
Heu, Bisam, dominee par quoi, dans la version Poirot? ?
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Tu m'as fait douter, P.
De mémoire, il faut effectivement être subtil, mais (après vérification dans mes feuilles d'exercices) on peut dominer par la fonction qui à $t$ négatif associe $e^{-\frac{t^2}{2}}$ et à $t$ positif associe $(1+t)e^{-t}$. -
En posant $u=\dfrac t{\sqrt x}$ on peut aussi utiliser l'inégalité : pour $-1<u\leq1$ on a $\ln(1+u)\leq u-\dfrac {u^2}4$
Remarque : cette domination ne serait pas valable pour l'intégrale de $-\sqrt x$ à $+\infty$ alors que celle proposée par bisam serait encore valable. -
Desole de ne pas avoir latex...
en fait c'est exponentielle de (moins t multiplié par racine carrée de x)
La suite a été bien écrite en latex. -
Bonjour,
Mathssympas, contrairement à ce que tu dis, ici, tu as $\LaTeX$.
Il suffit d'encadrer tes expressions par des dollars.
Cordialement,
Rescassol -
Donc le parenthésage initial " e^(-t)rac carrée de x * (1 + t / racine carrée de x)^x " était faux !!
Quand on écrit en LaTeX le rendu ("aperçu") permet de savoir ce qui sera écrit, et si on écrit e^{-t}rac carrée de x , plus exactement e^{-t}\sqrt{x} on aura $e^{-t}\sqrt{x}$, qui est exactement ce qui était écrit (par erreur) au départ.
Cordialement.
NB : En cliquant sur "citer" tu auras le texte que j'ai écrit, tu verras comment j'ai obtenu la formule LaTeX -
J'avais flairé le problème de parenthésage ! :)o
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Bonjour!
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