Fonctions convexes de classe C2

Il faut supposer $f(a) \leq 0 \leq f(b)$.

On a $f \leq g$ ponctuellement par définition de la convexité. De plus on a $f(x) \geq 0$ pour $r \leq x \leq b$ et $g(x) \leq 0$ pour $a \leq x \leq u$, donc $u \leq r$.

Bonjour,

Par définition $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes contraires, donc on suppose $f(a)\neq 0$ et $f(b) \neq 0.$

Un graphique rapide avec $g$ une parabole montre que le résultat voulu $u \leq r$ est faux si $f(a)> 0.$

Il faut donc supposer $f(a)<0$ et $f(b)>0.$

Tu connais une relation entre les variations d'une fonction convexe entre trois points $a<b<c$ : ${f(b)-f(a) \over b-a} \leq {f(c) - f(a) \over c-a} \leq {f(c) - f(b) \over c-b}.$
Tu l'écris pour $a<r<b.$
Tu écris l'équation de la droite $g$ : $g(t) = ...$
et tu reportes dans les inégalités : tu tombes sur le résultat.

Comme $g$ est affine, $tg(x) +(1-t)g(y) = g\left ( tx + (1-t) y\right)$ pour tous $x,y,t$.
Remplacer $x$ par $a$, $y$ par $b$. D'autre part $[a,b]=\{ta+(1-t)b \mid t \in [0,1]\}$. Sachant que $f$ est convexe, que peut-on en déduire?