Sev non dense et forme linéaire sur un evn
Bonjour à tous
Je suis récemment tombé sur cet exercice sur lequel je bloque depuis quelques temps et j'apprécierai grandement une petite aide.
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $F$ un sev de $E$ non dense. Montrer l'existence d'une forme linéaire continue $f \ne 0$ tel que $F \subset \ker(f)$.
Le point $F \subset \ker(f)$ nous indique que cette forme linéaire devra être nul sur $F$, donc l'idée est de prouver l'existence d'un prolongement linéaire et continue $f$ de la fonction nulle de $F$ sur $E$ avec $f \ne 0$.
Ayant récemment étudié le théorème de Hahn-Banach, j'ai pensé qu'il serait utile mais comme la fonction nulle de $E$ est un prolongement linéaire et continue de la fonction nulle de $F$, l'existence que le théorème apporte n'est pas très utile. J'imagine que la clé réside dans l'hypothèse $\overline{F} \ne E$ mais je n'arrive pas à l'utiliser.
Merci d'avance.
Je suis récemment tombé sur cet exercice sur lequel je bloque depuis quelques temps et j'apprécierai grandement une petite aide.
Soit $E$ un espace vectoriel normé, $F$ un sev de $E$ non dense. Montrer l'existence d'une forme linéaire continue $f \ne 0$ tel que $F \subset \ker(f)$.
Le point $F \subset \ker(f)$ nous indique que cette forme linéaire devra être nul sur $F$, donc l'idée est de prouver l'existence d'un prolongement linéaire et continue $f$ de la fonction nulle de $F$ sur $E$ avec $f \ne 0$.
Ayant récemment étudié le théorème de Hahn-Banach, j'ai pensé qu'il serait utile mais comme la fonction nulle de $E$ est un prolongement linéaire et continue de la fonction nulle de $F$, l'existence que le théorème apporte n'est pas très utile. J'imagine que la clé réside dans l'hypothèse $\overline{F} \ne E$ mais je n'arrive pas à l'utiliser.
Merci d'avance.
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Réponses
Si tu prends $x\in E\setminus \overline{F}$ est-ce que tu arrives à construire un forme linéaire continue qui s'annule sur $\overline{F}$ mais pas en $x$ ?
Si oui, il te suffira ensuite d'appliquer Hahn-Banach sur cette forme pour la prolonger.
Soit $x \in E \backslash \overline{F}$ licite car $\overline{F} \ne E$, On considère l'ensemble $F+x\mathbb{R}$, c'est un sev de $E$ comme somme de sev. On introduit $\begin{array}[t]{ccccc}
f & : & F+x\mathbb{K} & \to & \mathbb{K} \\
& & a+xt & \mapsto & t \\
\end{array}$, $\ f$ est non nulle, linéaire et continue en effet
linéaire : $f(\lambda(a+xt)+(b+xt'))=f((\lambda a+b) + x(\lambda t+t'))=\lambda t+t'=\lambda f(a+xt) + f(b+xt')$ ;
continuité : Comme $f$ est une fonction linéaire non nulle, on peut appliquer l'équivalence classique: $f$ continue $\Leftrightarrow$ le noyau de $f$ n'est pas dense dans $E$, or par définition $\ker(f)=F+{0}=F$ et par hypothèse $\overline{F} \ne E$, donc $f$ est continue.
Finalement, d'après le théorème de Hahn banach on peut prolonger $f$ à une fonction linéaire $f_1$ non nulle (car $f$ non nulle) définie sur $E$ telle que $||f_1||_{E'}=||f||_{(F+x\mathbb{R})'}$, l'égalité des normes implique la continuité de $f_1$ car $f$ continue, et comme $\ker(f)=F$ on a $F \subset \ker(f_1).$
Pour mon indication j'avais plutôt pensé à définir $f$ sur $\overline{F}+x\mathbb{R}$ mais ça revient au même.