Qu'est-ce qu'un gradient ?
Bonjour à tous
Dans cette présentation, il y a tout un formalisme sur les gradients, page 14, qui a l'air très utile, et je souhaiterais des éclaircissements.
Le gradient $\nabla f(x)$ est un vecteur colonne qui contient les dérivées partielles de $f$,
$df(x)$ est une forme linéaire.
Après $dy^{\star}$ et $dx^{\star}$, qu'est-ce que c'est ? Cela fait penser à une application qui à une forme linéaire associe un scalaire, donc un dual ?
Merci.
Dans cette présentation, il y a tout un formalisme sur les gradients, page 14, qui a l'air très utile, et je souhaiterais des éclaircissements.
Le gradient $\nabla f(x)$ est un vecteur colonne qui contient les dérivées partielles de $f$,
$df(x)$ est une forme linéaire.
Après $dy^{\star}$ et $dx^{\star}$, qu'est-ce que c'est ? Cela fait penser à une application qui à une forme linéaire associe un scalaire, donc un dual ?
Merci.
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Réponses
Je ne vois pas vraiment l'intérêt de ce truc...
Le gradient est simplement l'unique vecteur tel que $df(x)dx = <\nabla f(x), dx>$.
Comme c'est une colonne et qu'ils tiennent absolument à écrire une application linéaire associée, en gardant $y$ pour les scalaires et $x$ pour les vecteurs, on a ce truc. Leur point de vue est donc de voir le gradient comme l'élément du dual canoniquement associé à $df(x)$.
Autrement dit ils tiennent pour une raison étrange à remplacer le produit scalaire par le gradient par l'application linéaire qui fait la même chose, ce qui nécessite leur $dy^{*}$ puisqu'on fait un produit scalaire de dimension 1 en transposant.
Par définition du gradient :
$df(x)dx = <\nabla f(x), dx> = <1, \nabla^{T}f(x) dx>$
Mais eux ils préfèrent :
$df(x)dx = dx^{*} \nabla f(x)$.
Et comme en plus ça ne leur suffit toujours pas, ils ajoutent leur $dy^{*}$ pour ne surtout pas voir le gradient ou $df(x)$ comme des vecteurs mais comme des applications linéaires (une forme linéaire pour $df(x)$, une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R^{n}}$ pour le gradient).
Beaucoup de bruit pour dire qu'on transpose... on n'est pas dans un cadre abstrait et conceptuel dans lequel on a du mal à saisir les formes linéaires...