Variation bornée d'une fonction
Salut ! Pouvez vous m'aider avec avec ma démonstration car je ne vois pas où est ce que je me suis planté en montrant que la fonction est à variation bornée. D'après ma résolution en prenant des valeurs de la subdivision la fonction est à variation bornée tandisque d'après la correction la fonction n'est pas à variation bornée. Voici l'énoncé, ma correction et la correction du livre.
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Réponses
Même si ton résultat était correct, tu aurais seulement trouvé une subdivision le long de laquelle les variations de $f$ sont finies, ce qui ne prouverait pas que $f$ est à variations bornées.
Je n'ai pas tout lu sauf tes 2 dernières lignes. Alors ma question est :
Peux-tu redonner la définition d'une fonction à variation bornée?
Tu devrais revoir la définition de fonction à variations bornées. Ce n'est pas qu'il existe une subdivision dont la variation est finie (ce que tu as montré), mais qu'il existe une borne M telle que quelle que soit la subdivision, la variation associée est inférieure à M.
Cordialement.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Dire qu'une fonction est à variation bornée si (voir fichier).
Je suis nouveau sur ce site et ne [sais] comment insérer les formules mathématiques sur cette plateforme.
Mais les mots sont 'clairs' : une fonction à variation bornée, c'est une fonction dont les variations sont bornées. Donc il existe une borne M, telle que les 'pentes' de la courbe ne dépassent jamais cette borne.
En plus,ici, on nous dit de montrer que cette fonction n'est pas à variation bornée. On nous demande de montrer que dans le dessin de cette courbe, il y a des portions avec des pentes 'quasiment verticales'.
Donc on dit : fixons une limite, très haute, et montrons qu'on va trouver un segment sur lequel la pente est encore plus élevée que la limite qu'on s'est fixée.
Est-ce que tu as un dessin de cette fonction $x sin ( 1/x) $ sous les yeux ?
Pour mettre une formule latex, tu tapes ta formule, et tu mets des caractère 'Dollar' avant et après ta formule.
Dire que les "pentes" ne dépassent jamais une certaine pente revient à dire que la fonction est lipschitzienne (et encore une fois ce n'est pas pareil qu'être à variations bornées).
J'avais failli ajouter à la fin : 'à mon époque, ces fonctions s'appelaient les fonctions lipschitziennes, c'était beaucoup moins clair'
Du coup, j'ai regardé wikipédia, et ok, je vois.
le mot "sup" de la formule désigne bien une borne supérieure.
Une traduction de cette définition, compte tenu du fait qu'un ensemble majoré de réels a une borne supérieure est : Il existe un nombre M tel que, pour toute subdivision, la variation de la subdivision est inférieure à M. Ce qui assurera que le sup de ces variations sur l'ensemble des subdivisions sera inférieur ou égal à M, donc fini.
Cordialement.
NB : Vu ce que tu as écrit, tu devrais revoir ce qu'est une subdivision (rôle de $\alpha$ dans $u_{\alpha}$, cas général de subdivision), et déterminer ce que tu appelles $x_i$ dans ton texte. Tu as employé des notations bizarres et une subdivision mal définie (quel est le terme qui suit 0 ???).
Pour le cas la subdivision définie sur un segment $[a,b]$ est une suite finie $U=(x_i)$, $i$ est élément de l'ensemble des entiers naturels de $0$ à $n$ tel que $a=x_0<\cdots<x_n=b.$
Merci beaucoup pour tes explications mais vu la tracer de la courbe de la fonction $x\sin(1/x)$ je n'ai pas très bien compris. La courbe de cette fonction qui tend vers 0.
Le mot bizarre que j'ai écrit ne fait pas partie de la démonstration de l'exercice. Je l'ai juste écrit comme ça pour me référer sur des exercices que [où] j'ai passé assez de temps à résoudre et que je n'ai pas pu résoudre, ni comprendre. D'après ta définition de la variation je pense pouvoir [avoir] compris maintenant. Comme je suis étudiant en 2eme année spécialité Maths pouvez-vous me recommander des exercices à mon niveau.
Quant à ton "bizarre", c'est que tu n'as pas compris qu'en prenant comme subdivision les zéros de la fonction, la variation vaut la somme des |0-0| qui est naturellement nulle. Mais tout ce que tu as fait au début n'a aucun intérêt.
Donc par exemple, une des subdivisions, c'est entre $\dfrac {2}{\pi + 2k \pi}$ et $\dfrac {2}{\pi + 2(k-1) \pi}$ et ainsi de suite , toutes les valeurs de k.
... je fais une approximation, les points en question, ce sont les points où la dérivée de $\sin (1/x) $ s'annule ; pour notre fonction les points où la dérivée s'annule sont très proches de ces points là. Mais ces points là sont parfaits pour le calcul.
Sur chacun des intervalles $[a,b]$ de ce type, tu peux calculer $|f(b)-f(a)|$ ... puis faire la somme de ces $|f(b)-f(a)|$ pour toutes les valeurs de $k$.
Tu vas reconnaître une somme connue, qui tend vers l'infini.
J'aimerais savoir avant tout si ma subdivision sur le segment est correcte ou pas d'après toi ? (Voir ma subdivision de la correction).
Veuillez m'aider à chaque fois que j'insère des inégalités, des points pour faire la subdivision l'envoi du message n'est plus possible.
C'est ce que gerard0 te disait hier soir déjà.
La somme de tout ça, sur tous les intervalles, ça fait 0. Alors qu'un découpage mieux choisi, ça donne une somme qui tend vers infini.
L'exercice demande de prouver que la fonction est à variations non-bornée. Donc de montrer qu'on peut trouver une subdivision bien choisie, avec une somme infinie.
Je pense que si tu avais regardé le dessin de la fonction AVANT de chercher la réponse, tu aurais fait moins d'erreurs.
Pour les messages impossibles à envoyer, tu essayes de faire un copier/coller ... et ça marche mal. Pas de caractères bizarres, que les caractères de base.
Si une suite diverge vers l'infini, elle possède des termes arbitrairement grands. Ça ne signifie pas qu'elle possède des termes infinis.
Cordialement,
Rescassol
Ce que tu fais revient à reprendre la correction. Avec un calcul plus compliqué. Il serait peut-être temps pour toi de revoir cette correction, en cherchant à comprendre pourquoi ils ont pris justement cette subdivision-là (elle a été choisie soigneusement) par exemple en comparant avec celle que tu veux prendre (mène les deux calculs en parallèle).
Je me répète : si tu trouves une subdivision pour laquelle la somme correspondante est finie (voire nulle), ça ne prouve rien du tout, ni que $f$ est à variations bornées, ni qu'elle ne l'est pas.
Être à variations bornées, ça veut dire que pour toute subdivision, la somme correspondante est plus petite qu'une borne $M$ ne dépendant pas de la subdivision. Ne pas être à variations bornées, c'est dire l'inverse, autrement dit que l'on peut trouver des subdivisions dont la somme correspondante est aussi grande que l'on veut. En particulier, si l'on trouve une subdivision pour la quelle la somme correspondante est infinie, on a gagné.
$$|f'(x)|=\left|\sin \frac{1}{x}- \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}\right|\geq |\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}|-|\sin \frac{1}{x}|$$ Comme $\sin \frac{1}{x}$ est bornee alors $ \int_0^1|\sin \frac{1}{x}|dx$ est fini. Mais
$$\int_0^1 |\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}|dx=\int_1^{\infty}\frac{1}{y}|\cos y|dy=\infty.$$
Cela implique qu'elle est localement à variations bornées sur $]0, 1[$, et le résultat que tu cites s'applique "en global", et montre qu'elle n'est pas à variations bornées sur $]0, 1[$, a fortiori sur $[0, 1]$, est-ce qu'on est d'accord ?
Bon à vrai dire je n'ai pas très bien compris le choix de leurs subdivisions en posant : Pour tout N éléments de l'ensemble des entiers naturels et pour tout i élément de l'ensemble des entiers naturels de 0 à N $x_i:=\frac{2}{(2N-2i+1)\pi} $ . Je sais que le choix est important mais ici je me demande est-ce un choix bien déterminé (comme une condition) ou un choix au hasard. Il est intéressant de comprendre ce qu'ils ont fait, mais je ne veux pas être dépendant de leurs choix. Mon vrai problème est ce choix $2(N-i)$, pourquoi N et i en même temps ?
Je ne comprends pas bien ton raisonnement.
Tu as dit que si $f$ est absolument continue alors elle est localement à variation bornée. Est-ce que c'est une proposition ? Je sais qu'il y a une différence entre monotonie et continuité et que toute fonctions réelles monotone sur un segment est à variation bornée. Mais là la fonction elle continue sur $[0,{2}÷{pi}] $ mais elle n'est pas monotone (la tracée de la courbe)
Tu disais que être à variations bornées, ça veut dire que pour toute subdivision, la somme correspondante est plus petite qu'une borne M ne dépendant pas de la subdivision. Cette paragraphe j'ai bien compris. Ne pas être à variations bornées, c'est dire l'inverse, autrement dit que l'on peut trouver des subdivisions dont la somme correspondante est aussi grande que l'on veut. Mais dans ce cas là n'importe quel valeurs de i prisent dans $[1, N]$ $x_i:=\frac{2}{(2N-2i+1)\pi} \le{2\pi} $ pour tout N non ?
ton dernier message montre bien que tu n'as pas du tout compris de quoi il est question, ce qui explique les précédents. Tu parles de $x_i$ qui est un réel, Poirot parle de la variation de la subdivision.
Reprenons au départ :
Donne-nous une subdivision de $[0,2\pi]$ (explicitement, en donnant les valeurs) contenant 4 intervalles (5 valeurs).
Quelle est la variation de $\sin$ liée à cette subdivision ? au besoin, donne-en une valeur approchée.
Si tu réponds clairement à ces deux questions on pourra aller plus loin (*)
Cordialement.
(*) j'ai bien peur que ton problème soit bien là.
tu te contentes de copier le corrigé, sans revenir à la signification de "subdivision". Et ça n'a aucun sens !! Je te demandais une subdivision de $[0,2\pi]$ et tu réponds par une "subdivision" sans signification (c'est quoi, $k$ ???) de $[0,\frac 2{\pi}]$
Je ne vais pas continuer à perdre mon temps avec quelqu'un dont le cerveau est inutilisé. Juste un dernier essai : Donne-moi une subdivision à valeurs décimales de $[0,1]$. Et avant, apprends ce qu'est une subdivision (pour l'instant, tu écris sans avoir fait ton travail élémentaire d'apprentissage).
Je suis désolé c'est une erreur de frappe c'est pour tout $K$ éléments de $[0, n]$. $K$ est l'élément d'indice de la famille qui est la donné d'une subdivision.
J'avais mal compris ta question au niveau du segment.
Une subdivision décimal de $[0,1]$ cela revient à découper le segment $[0,1]$ en n sous-intervalles.
On a $(\frac{1}{7}, \frac{1}{5}, \frac{1}{3}, \frac{1}{2} )$ est une subdivision du segment $[0,1]$
Pour le cas du segment $[0, 2\pi]$ une subdivision est $(0, \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, 2\pi)$
Une subdivision n'a aucune raison d'être régulière.
Cordialement,
Rescassol
J'ai juste pris des valeurs comprises sur le segment. Je n'ai pas fait attention à la subdivision (régulière).
Soit $f(x)=x\sin\frac{1}{x} \Rightarrow f^\prime(x)=\sin\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}$.
Donc $| f^\prime(x)| =| \sin\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}| $ en passant à la valeur absolue.
D'après la définition de la variation $f$ continue et de classe $C^1$ on aura $\int_{0}^\frac{2}{\pi} | f^\prime(x)| dx= \int_{0}^\frac{2}{\pi}| \sin\frac{1}{x}-\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}| dx \ge \int_{0}^\frac{2}{\pi}(| \sin\frac{1}{x}|-|\frac{1}{x}\cos\frac{1}{x}|) dx$.
En faisant un changement de variable on aura $\int_\frac{\pi}{2}^\infty| f^\prime(t)| dt\ge \int_\frac{\pi}{2}^{\infty}(| \sin(t)|-| t\cos(t)|) (-\frac{1}{t^2})dt=\int_\frac{\pi}{2}^{\infty}(-| \frac{\sin(t)}{t^2}|+| \frac{1}{t}\cos(t)|)dt $.
Soit $m=-\int_\frac{\pi}{2}^{\infty}| \frac{\sin(t)}{t^2} | $
En faisant une intégration par partie de $m$ et en la remplaçant par sa valeur dans $V(f)$ après calcul on aura $2\int_\frac{\pi}{2}^{\infty}| \frac{1}{t}\cos(t)|)dt +\alpha$ avec $\alpha=-1+\frac{2}{\pi}$. Après calcul de l'intégrale $V(f)\ge +\infty $. Donc la fonction n'est pas à variation bornée.