Qu'est-ce qu'un gradient ?

C'est écrit : ce sont un scalaire et un vecteur.
Je ne vois pas vraiment l'intérêt de ce truc...

Le gradient est simplement l'unique vecteur tel que $df(x)dx = <\nabla f(x), dx>$.
Comme c'est une colonne et qu'ils tiennent absolument à écrire une application linéaire associée, en gardant $y$ pour les scalaires et $x$ pour les vecteurs, on a ce truc. Leur point de vue est donc de voir le gradient comme l'élément du dual canoniquement associé à $df(x)$.
Autrement dit ils tiennent pour une raison étrange à remplacer le produit scalaire par le gradient par l'application linéaire qui fait la même chose, ce qui nécessite leur $dy^{*}$ puisqu'on fait un produit scalaire de dimension 1 en transposant.

Par définition du gradient :

$df(x)dx = <\nabla f(x), dx> = <1, \nabla^{T}f(x) dx>$

Mais eux ils préfèrent :

$df(x)dx = dx^{*} \nabla f(x)$.
Et comme en plus ça ne leur suffit toujours pas, ils ajoutent leur $dy^{*}$ pour ne surtout pas voir le gradient ou $df(x)$ comme des vecteurs mais comme des applications linéaires (une forme linéaire pour $df(x)$, une application de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R^{n}}$ pour le gradient).
Beaucoup de bruit pour dire qu'on transpose... on n'est pas dans un cadre abstrait et conceptuel dans lequel on a du mal à saisir les formes linéaires...

On parle de differentielle $h\mapsto f'_x(h),$ calculee au point $x\in \Omega$ d'une fonction reelle $f$ lorsque celle ci est definie sur un ouvert $\Omega$ d'un espace vectoriel $E$ reel, sans structure particuliere, par exemple sans base distinguee. Si par chance $E$ est euclidien, il est interessant de realiser la forme lineaire $f_x'$ par un vecteur $(\nabla f)(x)$ appele gradient tel que $f_x'(h)=\langle (\nabla f)(x),h\rangle.$ Si $E=\R^n$ les utilisateurs considerent en general implicitement que $\R^n$ est muni de sa structure euclidienne canonique, cad telle que la base canonique de $\R^n$ est orthonormale. D'ou la representation confuse du gradient et de la differentielle par un vecteur colonne de derivees partielles. Ce petit discours pour dire que le gradient dans une ambiance euclidienne est un objet geometrique intrinseque qui ne depend pas d'une base particuliere.