Carrés de nombres dans une progression

Fibonacci
Fibonacci
dans Arithmétique
Bonjour, il y a quelque temps j'ai posté un rapport dans lequel la somme des (n + 1) carrés de nombres consécutifs était égale à la somme des carrés des nombres consécutifs suivants.
J'ai trouvé une relation analogue où les carrés des nombres constituent une progression arithmétique..
Je présente deux exemples.

$108^2+111^2+114^2+117^2+120^2=123^2+126^2+129^2+132^2$
$42^2+44^2+46^2+48^2+48^2=50^2+52^2+54^2$

Je posterai ensuite la formule qui étant donné n (nombre de termes dans le second membre) et k, la raison de la progression arithmétique, nous permet d'écrire l'égalité requise.
a+
Fibonacci

Réponses

  • jandri
    jandri
    Bonjour,

    dans la deuxième formule $48^2$ ne doit pas être répété deux fois.

    Ces formules n'apportent rien de plus à ce qui était déjà écrit dans le fil Somme des carrés des nombres consécutifs

    Pour la première égalité on a multiplié par $3^2$ une égalité avec les carrés de nombres consécutifs, pour la seconde on a multiplié par $2^2$.
  • J.Faizant
    J.Faizant
    Bonjours,

    On a aussi des solutions aussi triviales que négatives:

    (-12)2+(-9)2+(-6)2+(-3)2+02 = 32+62+92+122

    et aussi:

    (-8)2+(-6)2+(-4)2+(-2)2+02 = 22+42+62+82

    Il faudrait donc ne considérer que des nombres entiers positifs dans votre énoncé, bien que ces solutions triviales soient intéressantes pour fixer les idées.

    Bonne journée.
  • Fibonacci
    Fibonacci
    Je m’excuse pour le refus... Celui qui a répondu, il y a quelques mois, à mon premier post concernant une somme de carrés consécutifs a utilisé la formule qui fournit la somme des carrés. Je n’ai pas utilisé cette formule. Le cas de la somme de carrés consécutifs est un cas particulier de la somme de carrés de nombres en progression arithmétique. La formule que j’ai trouvée permet d’écrire la relation en connaissant le nombre de termes et la raison. Par exemple, si n=9 et la raison est 7 nous avons:
    $252^2+259^2+266^2+273^2+280^2=287^2+294^2+301^2+308^2$

    La somme des carrés de nombres consécutifs est un cas particulier de la formule que j'ai trouvée hier (il suffit de prendre la raison égale à 1).
    Cela dit, je suis curieux de voir comment vous écrivez une relation à 11 termes sachant que la raison en est 7.
    Merci pour la collaboration.
    a+
    Fibonacci
    P.S.Je n'ai pas précisé que je considère les nombres naturels. Cela me semble évident : est-ce que je me trompe ?
  • jandri
    jandri
    Fibonacci, je répète que c'est sans intérêt : $252^2+259^2+266^2+273^2+280^2=287^2+294^2+301^2+308^2$ c'est $36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2$ qu'on a multiplié par $7^2$.

    L'égalité avec 11 nombres et la raison $7$ s'obtient en multipliant $55^2+56^2+57^2+58^2+59^2+60^2=61^2+62^2+63^2+64^2+65^2$ par $7^2$ :
    $385^2+392^2+399^2+406^2+413^2+420^2=427^2+434^2+441^2+448^2+455^2$.
  • Fibonacci
    Fibonacci
    Vous êtes une personne très gentille, je n'ai pas l'intention de faire de polémique mais je renonce à comprendre : pourquoi une formule qui vous donne directement un résultat est-elle sans intérêt ?
    Cordialement..
    a+
    Fibonacci
  • jandri
    jandri
    Quand on multiplie une suite d'entiers consécutifs par $k$ on obtient une progression géométrique de raison $k$.

    La formule pour $N=2n+1$ carrés d'entiers consécutifs est la suivante ($N$ est impair) :
    $$\sum_{i=0}^n(2n^2+n+i)^2=\sum_{i=n+1}^{2n}(2n^2+n+i)^2.

    $$ Celle pour une progression géométrique de raison $k$ est alors :
    $$\sum_{i=0}^n(k(2n^2+n+i))^2=\sum_{i=n+1}^{2n}(k(2n^2+n+i))^2.

    $$ Je considère que c'est la même formule (après simplification par $k^2$).
  • Fibonacci
    Fibonacci
    Merci, très intéressant. La formule que j'ai trouvée me donne comme premier terme nk (2n + 1), k est la raison et 2n + 1 le nombre de termes. Dans le cas où j'ai proposé n = 5, k = 7, le premier terme est donc 385 ...
    Cordialement
    a+
    Fibonacci

    P.S : comment as-tu choisi le 55 ?
  • jandri
    jandri
    La formule que tu as trouvée est la même que celle que j'ai écrite au-dessus :
    le premier terme du membre de gauche est obtenu pour $i=0$, il vaut $nk (2n + 1),$ où $2n+1$ est le nombre total de termes.

    Je n'ai pas "choisi" le $55$, je l'ai obtenu pour $n=5$ car $n(2n+1)=55$. Ensuite, $55k=385$.
  • Fibonacci
    Fibonacci
    bien sûr, je me suis mal exprimé...
    Merci pour la collaboration.
    a+
    Fibonacci
    P.S
    Des relations similaires sont-elles connues pour les cubes ?
    Hors bien entendu le cas de la somme de deux cubes (Fermat...)
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