Comment arrondir des nombres équidistants ?

Spalding · September 2021

Je corrige ou complète parfois des articles Wikipédia. Actuellement, j’envisage celui sur les nombres arrondis. J’ai aussi été confronté à ce problème dans mon traité de psycho, comprenant de nombreux tableaux avec des nombres arrondis. Disons qu’il existe une douzaine de méthodes pour arrondir, avec leurs avantages et leurs inconvénients. Je ferai peut-être un petit topo là-dessus un jour ou l’autre…

Ces méthodes ne posent guère de problèmes théoriques, sauf pour arrondir des nombres équidistants. Pour simplifier, voyons des nombres absolus (sans – ou +) que l’on voudrait arrondir à l’unité. Ce sont tous les nombres dont la première décimale est 5 suivi par une infinité de 0. Faut-il par exemple arrondir 14,500… à 14 ou 15 ? Par convention (dixit Wikipédia), c’est en fait l’arrondissement supérieur qui est préconisé (15 ici).

Je me suis donc demandé si l’on ne pouvait pas dépasser les conventions pour établir un argument arithmétique justifiant l’arrondissement inférieur ou supérieur des nombres équidistants. Voyons par exemple les deux plus petits nombres envisageables pour un arrondissement à l’unité : 0,5 et 1,5. Le quotient de leur division est 0,33 (0,5/1,5). En arrondissant ces deux nombres à l’unité inférieure, nous avons 0 (0/1). Pour l’unité supérieure, ce sera 0,5 (1/2). Nous pouvons ici remarquer que l’arrondissement vers le haut préserve mieux le quotient des nombres à arrondir que vers le bas : 0,33 est plus proche de 0,5 (+ 0,17) que de 0 (– 0,33) ! La même constatation pourrait être faite avec des nombres beaucoup plus éloignés. Par exemple, il vaut mieux arrondir 8,5 et 29,5 vers le haut (9 et 30) que vers le bas (8 et 29) car le quotient de 8,5/29,5 est plus proche de 9/30 que de 8/29 : faites les calculs !

Reprenons la première suite de fractions : 0/1 ; 0,5/1,5 ; 1/2. Nous pouvons alors remarquer que les numérateurs et dénominateurs suivent une progression arithmétique (raison 0,5). Mais ce n’est pas le cas de leurs quotients : 0 ; 0,33 ; 0,5. Ils augmentent bien, mais en ralentissant. L’augmentation diminue de moitié, passant de 0,33 (0,33 – 0) à 0,17 (0,5 – 0,33). Pour que la hausse se maintienne, il faudrait que la fraction finale soit 2/3 (0,66) au lieu de 1/2 (0,5).

La règle serait donc la suivante pour les valeurs absolues des fractions, avec un numérateur inférieur au dénominateur (pour éviter 1/0). Lorsqu’elles augmentent de manière arithmétique (raison constante) au même rythme, leurs quotients augmentent par contre à un rythme de plus en plus ralenti. Le quotient de la fraction médiane est alors plus proche de la fraction finale que de la fraction initiale. Considérons par exemple les fractions 0/1 (0), 1/2 (0,5), 2/3 (0,66), 3/4 (0,75), 4/5 (0,8) dont les numérateurs et dénominateurs augmentent de façon arithmétique (raison 1). Avec le ralentissement de plus en plus marqué de la progression des quotients, celui de la fraction médiane 2/3 (0,66) est plus près de la fraction finale (0,8) qu’initiale (0). On comprend alors que l’arrondissement supérieur préserve mieux le quotient des nombres à arrondir que vers le bas. Voici une découverte capitale en maths !

Mais il me faudrait une formule mathématique pour Wikipédia. Elle démontrerait qu’il vaut toujours mieux arrondir des nombres équidistants aux valeurs supérieures (pour des valeurs absolues), car leurs proportions sont alors mieux préservées. Cette formule serait valable quel que soit l’écart entre les nombres à arrondir, aussi l’ordre de grandeur : millième, centième, dixième, unité, dizaine, centaine, millier, etc.

Je lance donc un concours à tous ceux qui sont intéressés ici, même si je ne garantis pas que le gagnant recevra la médaille Fields ou le prix Abel !

Dom · September 2021

La règle d’arrondi supérieur pour « 5 » permet entre autre d’avoir une équité.

Quand c’est 0.1.2.3.4 on arrondit par défaut.
Quand c’est 5.6.7.8.9 on arrondit par excès.

Enfin, c’est à l’auteur de choisir son arrondi en fonction de ce qu’il vaut.

Premier exemple : on souhaite afficher des arrondis à l’entier de pourcentage
On a trois parts : 1/3 1/3 1/3.
On va écrire 33% 33% et…. 34% car on aime bien que la somme des fréquences soit 100%.
C’est arbitraire, l’auteur choisit.
Les tableurs le font (le premier, le dernier, je ne sais pas…).

Deuxième exemple :
On a trois parts : 61% 19,5% 19,5%.
Mais on veut des entiers. (C’est arbitraire ça aussi, le « on veut »).
L’auteur choisira de mettre 19% et 20% ou l’inverse.

Inutile du coup de théoriser tant que ça.

lourrran · September 2021

Pourquoi l'arrondi à l'entier supérieur est mieux.

J'ai le nombre 4.5, et je dois le remplacer par 4, ou par 5.

Si je le remplace par 4, mon nombre initial est 12.5% plus grand que le nombre choisi.
Si je le remplace par 5, mon nombre initial est 10% plus petit que le nombre choisi.
On préfère une erreur de 10%, plutôt qu'une erreur de 12.5%

On fait en sorte que l'écart en valeur en valeur absolue soit le plus petit possible. Et quand ce critère n'est pas suffisant pour trancher, on fait en sorte que l'écart en pourcentage soit le plus petit possible. Donc on prend l'entier supérieur.

Tous les calculs que tu fais avec 1.5 et 2.5 etc etc ... c'est totalement hors sujet.

Et dans un second temps, beaucoup plus compliqué, il y a le problème soulevé par Dom.

gerard0 · September 2021

Bonjour.

Faut-il rappeler la règle classique en informatique pour arrondir un nombre positif à l'entier le plus proche : ajouter 0,5 et tronquer à l'entier inférieur. D'un point de vue technique, c'est simple.

Cordialement

Dom · September 2021

Remarque : Si nous étions en une base impaire, on ne discuterait peut-être pas de ce « milieu-5 » même s’il existe toujours un nombre « milieu » et que s’il on tombe dessus, il faut trancher tel un monarque absolu.
En base 3 ça donne pour chiffre « des tiers » $,1$ pour 1/3 ou $,2$ pour 2/3. Il n’y a plus d’ambiguïté (enfin… sur ce seul chiffre…).

Homo Topi · September 2021

Pour éditer quelque chose sur Wikipédia, il faut avant tout être compétent dans la matière de ce que l'on veut éditer. Vu ton historique sur ce forum, permets-moi de te conseiller de faire moins de travail aux modérateurs de Wikipédia...

Spalding · September 2021

Merci pour vos messages, mais ils ne répondent pas du tout au problème posé !

Pour Dom, l’équité doit être considérée. Comme 5 n’est pas parmi les cinq premières décimales (0, 1, 2, 3, 4) mais parmi les cinq suivantes (5, 6, 7, 8, 9), l’arrondissement doit se faire à l’unité supérieure. Cet argument très scolaire ne tient pas, car il existe en fait 11 décimales (dixièmes) entre deux nombres entiers : il faut en effet ajouter 0 à la dernière décimale (9) pour que tout l’intervalle entre ces deux nombres soit couvert. Entre 14 et 15 par exemple, il existe 11 dixièmes : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. La décimale 5 apparaît alors comme la sixième (sur 11) et se trouve exactement à mi-distance.

Dom parle ensuite des méthodes pour qu’une addition de pourcentages débouche sur 100 % : complètement hors sujet !

Iourran est plus dans le sujet, mais ne démontre pas mathématiquement qu’il est toujours plus judicieux d’arrondir un nombre à la valeur supérieure plutôt qu’inférieure. C’est cela que j’attends justement !

Gerard indique qu’il faut ajouter 0,5 en informatique, puis tronquer à l’entier supérieur. C’est une constatation, pas une explication !

Pour Dom (à nouveau), la question ne se poserait pas si la base numérique était impaire. Tout à fait d’accord, mais ce n’est pas le cas : il faut faire avec ce qu’on a !

Mon ami Homo Topi (nous nous connaissons bien) me fait un grand compliment en signalant que mes sujets donnent beaucoup de mal au modérateur, compte tenu de l’incompétence des participants à ce forum. Cela suppose que mes sujets sont très intéressants mais en effet trop complexes, à tel point que tout le monde répond à côté de la plaque ! Je l’ai déjà constaté pour mon sujet sur Cantor, auquel il faudra que je revienne… Homo Topi, comme modérateur, est par ailleurs sûrement très compétent ! Nous attendons donc tous impatiemment qu’il réponde au problème posé…

Cela dit, j’ai peut-être compliqué inutilement le problème en envisageant les proportions entre les nombres équidistants à arrondir. Ce sont plutôt les proportions entre le nombre à arrondir et les deux valeurs possibles (inférieure et supérieure) qu’il faudrait considérer.

Toujours pour des valeurs absolues et un arrondissement à l’unité, voyons le premier nombre équidistant à arrondir : 0,500… Si l’on considère sa différence (soustraction) avec les deux autres nombres possibles (0 et 1), il n’existe aucune raison de l’arrondir à l’un plutôt qu’à l’autre. Dans les deux cas, cette différence est 0,5.

Mais en envisageant les proportions entre ces nombres, la conclusion n’est pas la même : 0 / 0,5 (pour éviter 0,5 / 0) = 0 ; 0,5 / 1 = 0,5 – Nous voyons que 0,5 est proportionnellement plus proche de 1 que de 0 : il faudrait donc l’arrondir à l’unité supérieure (1).

Idem avec 1,5 : 1 / 1,5 = 0,66 ; 1,5 / 2 = 0,75

Idem avec 2,5 : 2 / 2,5 = 0,80 ; 2,5 / 3 = 0,83

Mais cet avantage proportionnel se réduit avec l’augmentation des nombres à arrondir : pour le premier nombre (0,5), comparer 0 et 0,5 ; pour le deuxième (1,5), voir 0,66 et 0,75 ; pour le troisième (2,5), ce sont 0,80 et 0,83.

Logiquement, l’avantage proportionnel d’arrondir à l’unité supérieure ne devrait quand même jamais disparaître complètement pour les nombres équidistants. Mais comment le démontrer, toujours pour des valeurs absolues et quel que soit l’ordre de grandeur choisi pour arrondir : dixième, unité, dizaine, etc. ? Il ne s’agit pas seulement de le constater pour un nombre ou l’autre, mais d’établir mathématiquement qu’il en va toujours ainsi. Cela implique probablement une fonction mathématique. Puisque les participants à ce forum sont en principe hyper-compétents, Homo Topi le premier comme modérateur, j’attends donc toujours cette démonstration. Mesdames et Messieurs, à vos copies… ;-)

gerard0 · September 2021

Spalding a écrit:

Entre 14 et 15 par exemple, il existe 11 dixièmes : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0.

Digne de figurer dans les blagues mathématiques !

Comment pourrait-on te prendre au sérieux ?

Zig · September 2021

Bien que tu sois sans doute un troll, je dirais que pour répondre à ton "problème" il suffit de montrer que :

pour tout couple d'entiers naturels $\left(a,b\right)$, on a $\frac{a}{a+\frac{1}{2\times10^{b}}}<\frac{a+\frac{1}{2\times10^{b}}}{a+\frac{1}{10^{b}}}$.

Et c'est tellement simple à montrer que je le laisse à ton immense compétence.
.

babsgueye · September 2021

Salut.
Je pense que tu es en train de comparer les valeurs $f(x) = \dfrac{x - a}{x}$ et $g(x) = \dfrac{x}{x + a}$.
On a $F(x) = f(x) - g(x) = \dfrac{- a^2}{x(x + a)} \lt 0$ car $a\not = 0$.
Est-ce ça ?

Cordialement.

Homo Topi · September 2021

gerard0 : la réponse qu'il m'a donnée est une preuve que c'est un troll ou un mégalo cinglé (ou inclusif, j'entends). J'utiliserais un autre mot pour le qualifier, mais celui-là irait à l'encontre des règles du forum.

Il me prend pour un modérateur, je suis amusé.

Dom · September 2021

Bizarre…
Hors-sujet ? Ça ne me vexe pas mais faut-il encore avoir compris le débat que l’on lance.

Si la partie entière (positive) est $x$, on s’interroge pour savoir si l’on dit $x$ ou $x+1$.
Ça ne se pose donc pas « deux fois » pour le « x,0 » (je me permets cette notation).
Il est hors sujet de parler de $(x+1),0$.

gerard0 · September 2021

Dom,

revois ses anciens sujets. Tu verras qu'il a une conception toute particulière des maths et même du raisonnement. Si j'ai bien compris, il veut réviser une page Wikipédia sur l'arrondi, pauvres modérateurs du Wiki !

Cordialement.

Dom · September 2021

Hélas, même si Homo Topi m’avait prévenu, j’ai tenté la discussion.

Bon, il n’y a pas mort d’homme, comme on dit.

Riemann_lapins_cretins · September 2021

C'est qui ce trou de balle ?

i.zitoussi · September 2021

Le shtam aurait-il un rôle de salubrité publique?

Homo Topi · September 2021

L'utilité principale de la section Shtam, c'est que grâce à elle, les autres sections du forum peuvent ne contenir que des vraies maths. Je doute que le but originel de cette section était de servir à poubelle pour pseudo-maths du forum, mais il a déjà été question plusieurs fois de supprimer Shtam dans le passé. C'est une mauvaise idée, ça donnerait aux énergumènes qui postent beaucoup ici une impression de légitimité non méritée puisqu'il posteraient leurs élucubrations au milieu de vraies mathématiques.

Riemann_lapins_cretins · October 2021

Hâte de voir quelle "bijection au hasard" il aura choisie pour assembler des lettres dans un ordre aléatoire et produire un de ses messages pompeux qu'il appelle "mathématiques profondes".

Edit : ah non, je maintiens le e

i.zitoussi · October 2021

Homo Topi. Oui, au moins quand il écrit ici il n'ecrit pas ailleurs.

Riemann_lapins_cretins · October 2021

Dire que j'ai lu sérieusement cette "découverte capitale" à l'instant.

T'es au courant que tes fractions de machin + 0,5 / bidule + 0,5 c'est simplement l'ensemble des fractions de nombres impairs ?
Non il n'y a pas de deuxième 0 si on veut énumérer tous les dixièmes entre deux entiers. Le deuxième 0 est le premier 0 de l'écart entre l'entier supérieur et le suivant.

Et enfin ton critère de merde de préservation des fractions on s'en tamponne puisqu'il est arbitraire. Les gens normaux multipliraient par 2 ou 10 pour ne plus avoir de problème.

Quant à remarquer que l'inverse d'une progression arithmétique tend vers 0 sans être arithmétique c'est une découverte majeure ou bien fondamentale ?

Trou de balle.

lourrran · October 2021

Spalding : je ne connais rien de toi, à part les 2 messages que tu as postés dans cette discussion.

Surtout, supprime ton compte Wikipédia. C'est la meilleure chose que tu puisses faire.

Riemann_lapins_cretins · October 2021

Ah j'ai lu le deuxième message.

Ça vient nous dire qu'on est incompétent et qu'on a démoli Cantor en voulant en gros démontrer que $\frac{n}{n + 1/2} < \frac{n + 1/2}{n+1}$ ?

Tiens, puisque tu y tiens, pour compléter la preuve de ta découverte fondamentale, sans même résoudre une inéquations du premier degré :

$\frac{n}{n + 1/2} = \frac{n+1/2}{n + 1/2} - \frac{1/2}{n + 1/ 2} = 1 - \frac{1/2}{n + 1/2}$.

Vu que tu as déjà fait une découverte capitale, je t'épargne un travail complexe pour que tu profites de ton repos mérité : sur $\mathbb{R}_{+}$, la fonction $x + 1/2$ est croissante positive, donc celle des $\frac{1}{x + 1/2}$ est décroissante, et en multipliant par un nombre négatif, la fonction $1- \frac{1/2}{x + 1/2}$ est croissante. Youpi.

Si tu veux une formule savante, tu as conjecturé sans rigueur qu'en arrondissant à $n + 0,5$ à l'entier inférieur, le rapport vaut $1 - \frac{1}{2n+1}$, alors qu'en arrondissant au supérieur, le rapport vaut $1 - \frac{1}{2n+2}$.

J'ai hâte de voir sur quel argument je vais être traité d'incompétent, c'est même ma seule raison de poster.

zeitnot · October 2021

Ce fil m'a permis de me remémorer que vol 714 pour Sydney est un des meilleurs Tintin. B-)
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Spalding va dégainer ses arguments.

Spalding · October 2021

@ Gerard -- Tu ne sais manifestement pas compter jusqu'à 11, ce qui est ennuyeux ! De 14,0 à 15,0 (inclus tous deux) par exemple, il y a 11 décimales (dixièmes) et pas 10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Si l'on exclut 14,0 et 15,0 aux deux extrémités, cela fait 9 décimales. Dans les deux cas, la décimale 5 est manifestement au milieu. Il n'y a donc aucune raison d'arrondir 14,5 (suivi d'une infinité de 0) à 15 plutôt qu'à 14. Ton argument très scolaire et primaire ne tient donc pas. Comme on dit, le pire sot est celui qui l'ignore !

@ Zig (voir Zig et Puce !) -- Tu te proclames compétent, mais tu ne fais que répéter une formule très générale (comme un perroquet). Même remarque que pour Gerard !

@ Homo Topi -- Tu dis que je donne du travail aux modérateurs. Logiquement, tu t'identifies donc à un modérateur alors que tu ne l'es pas. Par conséquent, tu es un troll ou un mégalo cinglé (selon ton expression), un parano en tout cas.

Par ailleurs, je ne suis pas certain que les attaques personnelles et les insultes soient autorisées par le règlement de ce forum. Elles risquent aussi de faire passer leurs auteurs pour des crétins complets, incapables d'avancer calmement des arguments rationnels. À la décharge de Riemann, il en a conscience puisqu'il rajoute "crétin" à la suite de son nom ! Vous remarquerez à cet égard que je n'ai pas pris l'initiative des attaques personnelles et des insultes. Je vous invite donc à relire soigneusement le règlement du forum...

En fait, tous ces gens sont incapables d'admettre que j'aie des connaissances supérieures aux leurs sur un point que j'ai approfondi personnellement (Cantor). Ils n'ont d'ailleurs rien lu à ce sujet, contrairement à moi (j'ai donné ma référence). Leur amour-propre est atteint. Comme ces pauvres types n'ont aucune vie en dehors de ce petit forum qui est tout pour eux, ils ne peuvent réagir que par des attaques personnelles (réflexe de Pavlov) avec une violence pathologique. Je l'ai déjà constaté pour le sujet sur Cantor, auquel il faudra que je revienne : attaques personnelles et insultes, propos complètement à côté de la plaque, déformation de mes arguments... Cela m'a dégoûté de continuer.

Bien sûr, il vaudrait mieux avoir lu Cantor lui-même (en allemand) plutôt que se référer à un livre de seconde main sur ses théories. Mais il ne s'agit pas ici de faire une thèse, seulement de stimuler la réflexion sur un petit forum Internet d'un intérêt intellectuel assez faible. La plupart des participants à ce forum citent par ailleurs des mathématiciens sans avoir lu un seul de leurs bouquins !

Rassurez-vous, on ne peut pas tout savoir dans un domaine. Celui des maths est très vaste à cet égard. Moi, j'ai conscience de mes limites. Après avoir bien potassé un livre sur Cantor, je lance un sujet là-dessus. La théorie des ensembles établie par Cantor est tout à fait valable. Sa conception de certains nombres infinis supérieurs à d'autres est par contre beaucoup plus contestable. Je signale par ailleurs que Cantor a été traité de charlatan par son contemporain Kronecker, autre mathématicien renommé. Comme quoi, il n'y a pas des dieux intouchables en maths (ailleurs non plus).

Par contre, comme je ne connais rien aux fonctions mathématiques (on ne peut pas tout savoir), je n'hésite pas à demander les avis des uns et des autres sur un point précis (celui-ci en l'occurrence). J'attends donc qu'on m'éclaire poliment sur ce point.

De même, sur un forum de français, j'ai exposé des propositions pour une réforme des accords du participe passé : un sujet que j'ai étudié personnellement (une vingtaine de pages). Plusieurs des participants sont des professeurs calés en grammaire française. Ils ont pris connaissance de mes propositions, ont émis poliment des contre-arguments (sans déformer mes propos) auxquels j'ai répondu tout aussi poliment. Tout s'est très bien passé. Par contre, n'étant pas grammairien, je n'ai pas hésité à demander leurs avis sur certains points.

Quelques intervenants paraissent un peu plus compétents et honnêtes. Mais vu la mauvaise foi générale ici, je ne les remercierai pas avant un examen approfondi de leurs propositions. Sur ce, très bonne journée à tous ! J'attends vos nouvelles insultes avec beaucoup d'impatience, histoire de m'amuser encore... :-D

Rescassol · October 2021

Bonjour,

Je suis là en tant que spectateur.
Je ne suis pas sûr que ce clown soit meilleur que d'autres, attendons la suite.

Cordialement,

Rescassol

LEG · October 2021

Bonjour

@Spalding : Même si ce que tu dis aurait une certaine logique ...,14,0 le 0 est après le 14 et pour 15,0 là le 0 est après le 15 et non pas avant.

Il est donc difficile d'admettre que dans dix dixièmes il y en a 11, ce qui est un peu absurde; car :

Si je compte mes dixièmes et que je les rajoute à 1 : + 1/10 , 2/10 , 3/10, 4/10, 5/10, 6/10, 7/10, 8/10, 9/10 ,= 1,9 et + 1/10 = 10/10 = 2 si je rajoute 11/10 et ben .. j'ai 2,1 X:-(

Et en partant de 1 jusqu'à 2 j'ai 10 intervalles et pas 11 et en suivant ton raisonnement entre 2 et 3 j'en aurai aussi 11 et ben pourquoi ne pas dire qu'entre 1 et 3 il y a 11+11 = 22/10...etc etc

Car si tu me dis Ah non il y en 21 ce qui t'oblige à admettre qu'il y aurait 10 /10 + 11/10 Non ? ou la cour est pleine (:P)

gerard0 · October 2021

Spaldingue :

"@ Gerard -- Tu ne sais manifestement pas compter jusqu'à 11, ce qui est ennuyeux ! De 14,0 à 15,0 (inclus tous deux) par exemple, il y a 11 décimales (dixièmes) et pas 10 : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. "

Quand le sage montre la Lune, l'imbécile regarde le doigt.

Faut quand même être idiot pour vouloir placer les nombre de la forme 15, (ici autre chose que rien, pour indiquer que 15 est dépassé) entre 14 et 15.
Mais qui veut noyer son chien l'accuse de la rage.

Tu es déjà venu proposer tes âneries sur ce forum, tu as beau te croire plus fort que les autres, tu écris des âneries.