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Limite d'une fonction définie par intégrale

mathssympasmathssympas
dans Analyse
Limite de l'intégrale suivante.
intégrale de a à b de f(x; t) dt
avec a = moins rac carrée de x
b = racine carrée de x
f (x; t) = e^(-t)rac carrée de x * (1 + t / racine carrée de x)^x

Je souhaiterais savoir quelle méthode adopter pour trouver la limite quand x tend vers + l'infini.

Je pensais à un changement de variable mais je ne trouve rien de simple afin d'obtenir une primitive, de calculer puis de passer à la limite pour la fonction puis pour les bornes.
Je pensais à u = t rac carrée x.

Réponses

  • Riemann_lapins_cretinsRiemann_lapins_cretins
    Souvent les limites d'intégrales qu'on demande de calculer ne se trouvent pas avec des primitives explicites.
    Je regarderai quand quelqu'un aura la patience et la gentillesse de mettre en Latex.
  • Homo TopiHomo Topi
    $\displaystyle \int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}} e^{-t}\sqrt{x} \bigg(1+ \dfrac{t}{\sqrt{x}} \bigg)^x dt$ si j'ai bien lu.
  • PoirotPoirot
    Tu pourrais faire un effort sur le parenthésage. J'interprète ton intégrale comme celle-ci : $$\int_{-\sqrt x}^{\sqrt x} e^{-t \sqrt x} \left(1+\frac{t}{\sqrt x}\right)^x \,\mathrm{d}t,$$ c'est bien ça ?
  • gerard0gerard0
    Dans les deux cas, on peut s'assurer que l'intégrale du côté t>0 est positive, puis montrer que l'autre partie tend vers l'infini (il y a une minoration évidente pour x>1 par e-t Non, ça c'est faux !) .

    Pour Poirot : Il n'y a aucune nécessité de rajouter des parenthèses, Mathssympas a bien écrit ce que dit HT.

    Cordialement.
  • Riemann_lapins_cretinsRiemann_lapins_cretins
    Peut-être plutôt $\frac{t}{\sqrt{x}}$.
  • P.P.
    Pas tres interessant. Peut etre une erreur d'enonce? Dans la version HT : pour $0<u<1$ on a $\log(1+u)\geq u\log 2$ et donc
    $$\int_{-\sqrt{x}}^{\sqrt{x}}e^{-t}\sqrt{x}\left(1+\frac{t}{\sqrt{x}}\right)^xdt=x\int_{-1}^1e^{-u\sqrt{x}}(1+u)^xdu\geq x\int_{0}^1e^{-u\sqrt{x}+xu\log 2}du\to_{x\to \infty}\infty.$$
  • jandrijandri
    Je pense que c'est Poirot qui a su deviner le bon énoncé.
  • Homo TopiHomo Topi
    Si c'est le cas, mathssympas a mal écrit ses parenthèses...
  • bisambisam
    Il suffit d'utiliser le théorème de convergence dominée de Lebesgue.
    Même pas besoin de transformer l'intégrale.
  • P.P.
    Heu, Bisam, dominee par quoi, dans la version Poirot? ?
  • bisambisam
    Tu m'as fait douter, P.
    De mémoire, il faut effectivement être subtil, mais (après vérification dans mes feuilles d'exercices) on peut dominer par la fonction qui à $t$ négatif associe $e^{-\frac{t^2}{2}}$ et à $t$ positif associe $(1+t)e^{-t}$.
  • jandrijandri
    En posant $u=\dfrac t{\sqrt x}$ on peut aussi utiliser l'inégalité : pour $-1<u\leq1$ on a $\ln(1+u)\leq u-\dfrac {u^2}4$

    Remarque : cette domination ne serait pas valable pour l'intégrale de $-\sqrt x$ à $+\infty$ alors que celle proposée par bisam serait encore valable.
  • mathssympasmathssympas
    Desole de ne pas avoir latex...

    en fait c'est exponentielle de (moins t multiplié par racine carrée de x)
    La suite a été bien écrite en latex.
  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    Mathssympas, contrairement à ce que tu dis, ici, tu as $\LaTeX$.
    Il suffit d'encadrer tes expressions par des dollars.

    Cordialement,

    Rescassol
  • gerard0gerard0
    Donc le parenthésage initial " e^(-t)rac carrée de x * (1 + t / racine carrée de x)^x " était faux !!
    Quand on écrit en LaTeX le rendu ("aperçu") permet de savoir ce qui sera écrit, et si on écrit e^{-t}rac carrée de x , plus exactement e^{-t}\sqrt{x} on aura $e^{-t}\sqrt{x}$, qui est exactement ce qui était écrit (par erreur) au départ.

    Cordialement.

    NB : En cliquant sur "citer" tu auras le texte que j'ai écrit, tu verras comment j'ai obtenu la formule LaTeX
  • PoirotPoirot
    J'avais flairé le problème de parenthésage ! :)o
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