Ensembles dans la théorie des ensembles

Si tu construis les réels en "complétant" $\Q$ alors un réel est une classe d'équivalence de suites rationnelles. C'est donc un ensemble.

Sur la représentation de $\sqrt 2$ par deux ensembles différents, rien de nouveau sous le soleil. Pour donner un autre exemple qui te sera sûrement plus familier : c'est quoi $\mathbb Z/n \mathbb Z$ ? C'est $\{\{a \in \mathbb Z \mid a \equiv k \pmod n\} \mid k \in \{0, \dots, n-1\}\}$ ? C'est $\{e^{\frac{2ik\pi}{n}} \mid k \in \{0, \dots, n-1\}\}$ ? Les deux groupes remplissent les mêmes fonctions

Ce qui compte pour tout le monde, toi y compris, ce n'est pas ce "qu'est" $\sqrt 2$, mais plutôt ses relations aux autres objets d'intérêt. En l'occurrence, si l'on se donne "un" $\mathbb R$ (c'est-à-dire un ensemble remplissant toutes les propriétés attendues, et il en existe une infinité de distincts ! L'important est qu'ils sont forcément isomorphes en tant que corps ordonnés) alors $\sqrt 2$ sera l'élément $x$ vérifiant $$x^2 = 2 \text{ et } x \geq 0.$$

Les remarques sur le fait que les objets mathématiques sont définis à isomorphisme près se mettent au fond sous la forme "$\forall x P(x)$" (exemple: $P(x)$ pourrait être "$x$ est un corps ordonné possédant la propriété de la borne supérieure" ).
Ces remarques n'invalident en rien la pertinence d'énoncés du type $\exists x P(x)$, ceux dont les preuves construisent les objets.
La preuve de ce genre d'énoncé existentiel reste un préalable indispensable à la transformation (parfois maintenue à un niveau implicite) de $\forall x (P(x) \Rightarrow Q)$ en $Q$ où $Q$ est un énoncé ne parlant pas de $x$.

@l : bonjour. J'espère que tu vas bien. As-tu réussi à mettre la main sur les cours des théories des ensembles (ou de théorie des univers), s'il te plait ?

@Julia : la construction par les sections commençantes me paraît infiniment plus intuitive que celle par les suites de Cauchy. Très schématiquement, on appelle section commençante (ouverte) toute partie $S \subseteq \mathbb{Q}$ satisfaisant les propriétés suivantes :
1) $S \neq \emptyset$.
2) $S \neq \mathbb{Q}$.
3) $\forall x,y \in \mathbb{Q}, (x \in S \land y<x) \Rightarrow y \in S$. (Commençante).
4) $S$ n'a pas de plus grand élément. (Ouverte).
Puis tu appelles $\mathbb{R}$ l'ensemble de toutes les sections commençantes de $\mathbb{Q}$. Ensuite il faut définir les opérations, c'est le plus long à écrire mais ça marche bien. L'ordre $\leq$ correspond à l'inclusion.
Ce qui est top c'est qu'avec cette méthode le théorème de la borne supérieure "tombe tout seul" : si $(S_k)_{k \in I}$ est une famille de nombres réels avec $\forall k \in I, S_i \leq M$ (i.e. $\subseteq M$), alors la borne sup est
$$S= \bigcup \limits_{k \in I} S_k.$$
Et les propriétés classiques de $\mathbb{R}$ s'en déduisent facilement.

Et, cerise sur le gâteau, un réel est un ensemble dénombrable, ce qui n'est pas le cas avec les suites de Cauchy.

Julia: non, ce n'est pas une contradiction. C'est juste un abus de notation qui montre ses limites. Si tu me donnes quelque chose et me demande "c'est quoi la valeur de ce foncteur dessus ?" tu ne peux pas t'attendre à ce que je devine ce que tu m'as donné !! Il faudrait que tu dises $\sqrt 2_{Dedekind}$ ou quelque chose du genre.

ça n'a d'ailleurs rien à voir avec les catégories: est-ce une contradiction de dire que $\sqrt 2\subset \pi$ peut avoir une réponse positive ou négative ?

Bonjour,

@Thierry Poma: je n'arrive pas à remettre la main dessus... Ce qui me "chagrine" car je pensais l'avoir bien stocké "au chaud", et j'ai l'impression qu'il est resté dans le disque dur d'un de mes anciens ordinateurs...

Autrement, l'ontologie des objets mathématiques est une question très profonde et très complexe, surtout hors du champ mathématique strict. $\sqrt{2}$ est donc "quelque chose", dont l'existence est fonction de posture variée.

Maintenant, la théorie des "ensembles", à mon sens improprement nommée, propose de construire à l'intérieur des mathématiques un système où l'ontologie serait maîtrisée ex-ante et qui "mimerait" les mathématiques, une sorte d'émulateur de la réalité mathématique, à l'ontologie réduite: tout est d'une seule sorte de "nature", qu'on décide d'appeler "ensemble", mais on aurait pu appeler ça "truc"; ensuite on crée une correspondance mathématico-philosophique entre ces "trucs" et nos objets mathématiques. Du coup, on a l'impression que tout notre monde mathématique serait de cette "nature", alors qu'en fait, on ne fait qu'appliquer la correspondance d'un émulateur.

En clair, c'est comme dire que la vie/notre monde est modélisable par un programme informatique, dont tous les objets seraient des pixels par exemple, puis, qu'ensuite, on établisse une correspondance entre ces pixels et les éléments de natures diverses qui composent notre monde (puisque ce programme cherche à modéliser notre monde) et qu'on confonde notre monde avec sa "traduction" en termes de pixels.

La seule chose intéressante finalement est ce qui caractérise le passage possible entre l'émulateur et la réalité, c'est-à-dire le système de caractérisation formelle des éléments de notre réalité. Plus précisément, ce qui est important n'est pas tant de définir l'ontologie de $\sqrt{2}$ (ce qui est impossible mathématiquement) mais de définir comment cet élément est défini.

Au passage, pour Julia, ce que j'appelle la théorie des univers est ce qui s'appelle la "théorie des ensembles".

@l

Jean-Louis : donne moi une suite de Cauchy $u$, et je vais t'en sortir $2^\mathbb N$ qui sont équivalentes: pour toute suite binaire $\epsilon$, $n\mapsto u_n+\frac{\epsilon_n}{2^n}$.

Elles sont évidemment distinctes, et évidemment Cauchy-équivalentes à $u$.

Merci Maxtimax.
Jean-Louis.