Des ondes au Laplacien

Je ne comprends pas bien la question, il s'agit de justifier pourquoi on dégage le terme temporel ?
Si c'est bien ça, c'est probablement parce qu'on considère qu'au bout d'un moment le système atteint un point d'équilibre et son état ne dépend plus du temps donc on peut dégager tout ce qui est variation relative au temps des équations pour avoir une idée de l'état limite.

Il n'y a aucune raison que la limite quand $t \to +\infty$ existe, surtout avec des équations d'ondes où les solutions oscillent au cours du temps...

Si $u(x,t)=e^{i\omega t} v(x)$ et si le terme source oscille également à la pulsation $\omega$ alors $u$ n'a pas de limite en temps mais $v$ vérifie l'équation de Helmholtz de pulsation $\omega$