Application qui transporte une loi
Bonjour,
Voici une question que je me pose depuis longtemps.
De tout ensemble $X$ en bijection avec un groupe, on peut faire un groupe : $\varphi : G \rightarrow X$, $X$ de loi, pour $x=\varphi(g), x'=\varphi(g')$, alors $xx'=\varphi(g)\varphi(g') :=\varphi(gg')$, $x^{-1}=\varphi(g)^{-1} :=\varphi(g^{-1})$, $e_X :=\varphi(e_G)$. Cela devient un morphisme de groupes.
Comment appelle-t-on $\varphi$ ? Ce n'est pas un morphisme de groupes car $X$ n'en est pas un au départ, et ce n'est pas non plus une simple application car elle transmet une loi.
Merci d'avance.
Voici une question que je me pose depuis longtemps.
De tout ensemble $X$ en bijection avec un groupe, on peut faire un groupe : $\varphi : G \rightarrow X$, $X$ de loi, pour $x=\varphi(g), x'=\varphi(g')$, alors $xx'=\varphi(g)\varphi(g') :=\varphi(gg')$, $x^{-1}=\varphi(g)^{-1} :=\varphi(g^{-1})$, $e_X :=\varphi(e_G)$. Cela devient un morphisme de groupes.
Comment appelle-t-on $\varphi$ ? Ce n'est pas un morphisme de groupes car $X$ n'en est pas un au départ, et ce n'est pas non plus une simple application car elle transmet une loi.
Merci d'avance.
Réponses
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$\varphi$ est juste une bijection, et on dit que la loi sur $X$ est obtenue "par transfert" (ou toute expression raisonnable qui veut dire la même chose :-D je n'ai jamais entendu que "par transfert" mais ça m'étonnerait pas que d'autres personnes appellent ça autrement)
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On dit transfert de structure ou transport de structure, transport of structure en anglais.
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@Max : tu viens de battre le record de réactivité (1 minute !).
@Julia : dans le même ordre d'idée, mais peut-être plus facile à saisir : supposons que tu travailles dans ZF (donc tu ne sais pas que tout ensemble peut être bien ordonné). Tu te donnes un certain ensemble $X$ "brut de décoffrage", c'est-à-dire sans aucune structure dessus, en particulier pas d'ordre. Imagine que par une méthode quelconque tu as réussi à montrer qu'il existe une bijection $\varphi$ de $X$ sur un certain ordinal $\alpha$. Alors tu vas en déduire que $X$ est bien ordonnable, tout simplement parce qu'il hérite du bon ordre naturel de $\alpha$ via la bijection $\varphi$ (ou $\varphi^{-1}$).
J'ai employé "via" juste histoire de ne pas parler comme Max, mais bien sûr tu peux aussi dire que le bon ordre a été transféré de $\alpha$ sur $X$ par la définition
$$x < y \Leftrightarrow \varphi(x) \in \varphi(y).$$ -
Merci beaucoup, c'est une bijection qui transfère une structure.
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Je profite de cette question pour expliquer une de mes manies : je déteste parler de morphisme de groupes ou de magmas (par exemple), exactement pour la raison que vous citez "Ce n'est pas un morphisme de groupes car n'en est pas un au départ", d’ailleurs on peut utiliser l'existence d'un isomorphisme pour démontrer qu'une structure est un groupe (par exemple) ; je préfère parler de morphisme pour tel ou tel langage (ici le langage est réduit à une fonction d'arité 2).
À noter que la définition de morphisme engage le langage, pas les axiomes qui gouverne la structure. -
Médiat: en un sens, je suis d'accord avec toi (propriété vs structure c'est aussi une de mes manies ;-) ), mais quand même il faudrait apporter une petite nuance : si j'ai deux $L$-structures $M,N$ et une application $f:M\to N$, il se peut qu'il y ait des résultats qui me disent "si $M,N\models T$, alors il suffit de vérifier ci et ci pour savoir que $f$ est un morphisme de $L$-structures" (c'est par exemple le cas pour les groupes par rapport aux monoïdes dans le langage $\{\times, e\}$)
Par ailleurs, on va pas se trimballer des "morphismes de structure multiplicative" alors que "morphisme de groupes" est plus rapide à dire, à écrire, et plus clair dans le contexte. -
D'accord avec Héhéhé, j'avais entendu parler de transport de structure. On utilisait ça autrefois, lorsque les groupes étaient au programme, pour fabriquer des structures de groupes à proposer en exercice aux étudiants, par exemple $x*y=\frac {x+y}{1+xy}$ dans l'ensemble $E=]-1,1[$. Ils pouvaient démontrer que c'était un groupe en vérifiant les propriétés de groupe, ou trouver un isomorphisme avec une structure connue, qui était ledit transport.
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Merci Martial. Ok, dès qu'il y a bijection, on peut tout transférer : lois, relations (d'ordre, de bon ordre, d'équivalence), ...
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Par exemple, si $G$ est un groupe et $H$ un sous-groupe distingué de $G$, alors la surjection canonique de $G$ sur $G/H$ (ensemble des classes d'équivalence de $G$ modulo $H$) induit sur $G/H$ une loi de groupe. On parle ensuite de groupe quotient et de morphisme de groupes de $G$ sur $G/H$ : https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_quotient
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On peut aussi parler d'appropriation culturelle.
(en tout cas je me souviens d'une année de préparation des concours des CPGE où d'aucuns auraient choisi le terme transfert pour un tel phénomène!)
Et pour ajouter une contribution un tant soit peu utile, on lit aussi parfois que $X$ hérite (en anglais, inherits) de la structure de groupe de $G$ via $\varphi$. -
Julia Paule a écrit:dès qu'il y a bijection, on peut tout transférer : lois, relations (d'ordre, de bon ordre, d'équivalence), ...
Oui, une bijection ça correspond simplement à un "renommage d'éléments". Si au départ tes éléments pouvaient se multiplier entre eux, tu peux toujours le faire après avoir changé leurs noms !Julia Paule a écrit:Par exemple, si $G$ est un groupe et $H$ un sous-groupe distingué de $G$, alors la surjection canonique de $G$ sur $G/H$ (ensemble des classes d'équivalence de $G$ modulo $H$) induit sur $G/H$ une loi de groupe.
Certes, mais ça n'a rien à voir avec la question que tu poses ici.
PS : Il vaut mieux parler de transport de structure que de transfert de structure, il me semble que c'est l'expression la plus communément utilisée. -
Poirot, si, on ne parle de morphisme de groupes qu'après seulement avoir fait de $G/H$ un groupe par la surjection canonique, et cette même surjection devient alors un morphisme de groupes. C'était ma question.
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Tu n'as pas affaire à un transport de structure avec une bijection, ce n'est pas exactement la même chose.
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Ah oui je n'avais pas fait attention. C'est un transport de structure avec une surjection. Ma question comprenait aussi ce cas (après avoir vérifié que le morphisme surjectif est bien compatible avec la loi qu'on veut transporter).
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