Suites bornées

lorentz
lorentz
dans Analyse
Je suis confronté à une question : "si la suite(un2) est bornée, alors la suite (un) est bornée.
Je pense que c'est vrai et j'aurais tendance à raisonner par contraposé.
Ce qui donnerait : "si la suite (un) n'est pas bornée alors la suite (un)2 n'est pas bornée.

Le problème c'est que je ne sais pas comment on nie le fait que (un) est bornée, sachant que si (un) est bornée alors il existe deux réels, tels que pour tout entier n, (un) est comprise entre ces deux réels. Et la négation de cette phrase donne quoi ?

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Il est peut-être plus commode de justifier et d'utiliser le fait que $(u_n)$ est bornée ssi $\bigl(|u_n|\bigr)$ est majorée.
  • Dom
    Dom
    Une méthode :
    Traduire en langage quantifiée l’assertion.
    C’est facile ensuite de la nier.

    Une autre méthode :
    Si la suite n’est pas bornée, alors on peut extraire une suite soit strictement croissante, soit strictement décroissante.
    Mais c’est à prouver d’une part, et ensuite à exploiter si c’est exploitable, d’autre part.

    Édit : je n’avais pas vu le message de Math Coss.
  • Riemann_lapins_cretins
    Riemann_lapins_cretins
    On est d'accord que le carré est sur $u_{n}$ et pas sur $n$ ?
  • lorentz
    lorentz
    Oui tout à fait
  • gerard0
    gerard0
    Voila un exemple d'exercice où on peut facilement passer de l'hypothèse à la conclusion par application des règles du collège (inutile d'aller chercher la contraposée).
    En fait, tout ton problème, Lorentz, c'est d'écrire la définition de "$(u_n)_n$ est bornée". la suite vient toute seule.
    Et si tu tiens à contraposer, il va te falloir nier la définition ... donc avoir la définition !!

    Cordialement.

    NB : j'espère que tu n'es pas venu ici par flemme de chercher dans un cours cette définition !
  • lorentz
    lorentz
    Ok Gérard, donc une suite (un) est bornée: Il existe un réel M tel que pour tout entier n, abs(un) inférieur ou égal à M.
    Si je nie ça donne: pour tout réel M, il existe un entier n tel que abs(un) est strictement supérieur à M.

    C'est ça que tu voulais me faire dire?
  • Chaurien
    Chaurien
    Je confirme : quelle est la définition adoptée pour une suite bornée ? Et est-ce une suite réelle, complexe, ou autre ?
  • gerard0
    gerard0
    Oui, et la première définition, appliquée à $(u_n^2)_n$ donne le résultat en 2 lignes.
  • lorentz
    lorentz
    Suite réelle, c'est pour le lycée donc pas besoin des complexes
  • Chaurien
    Chaurien
    Mettons les pieds dans le plat, et rappelons la définition d'une suite bornée.
    Une suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb N} $ est bornée s'il existe $M \in \mathbb R_+^*$ tel que : $\forall n \in \mathbb N, |u_n| \le M$.
    Et il est connu que $|u_n| =\sqrt {u_n^2}$, non ?
    Pas besoin de contraposée, de suite extraite, etc.
    Si l'on adopte une autre définition d'une suite bornée, on montre l’équivalence de cette définition avec celle-ci.

    Maintenant, j'aime bien le théorème énoncé par Dom : « de toute suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb N} $ non bornée, on peut extraire une suite strictement croissante de limite $+\infty$ ou une suite strictement décroissante de limite $-\infty$ ». Mais il n'est pas nécessaire d'aller chercher ça pour une chose aussi simple.
    Ça me rappelle l'autre théorème : « de toute suite réelle $(u_n)_{n \in \mathbb N} $, on peut extraire une suite croissante ou une suite décroissante ». Au sens large, bien sûr.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • gerard0
    gerard0
    On pouvait espérer que Lorentz produise sa démonstration ... mais ça manquait singulièrement de volonté de le faire (ce qui apparaît ici).
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