Équivalent d'une intégrale
Bonjour à tous,
Je sèche sur la question suivante :
On pose $u_{n}=\int_{0}^{1}\left(3 x^{2}-2 x^{3}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ et on souhaite montrer que $u_{n} \sim \frac{\ell}{\sqrt{n}}$ avec $\ell=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-3 t^{2}} \mathrm{~d} t$.
J'avoue, je bloque dessus depuis quelque temps...
Des idées ?
Bien cordialement,
Ritchie
Je sèche sur la question suivante :
On pose $u_{n}=\int_{0}^{1}\left(3 x^{2}-2 x^{3}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ et on souhaite montrer que $u_{n} \sim \frac{\ell}{\sqrt{n}}$ avec $\ell=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-3 t^{2}} \mathrm{~d} t$.
J'avoue, je bloque dessus depuis quelque temps...
Des idées ?
Bien cordialement,
Ritchie
Réponses
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Regarde du côté de la méthode de Laplace.
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Puisque le résultat est donné, il suffit de l'obtenir...
Mettre l'intégrande sous forme exponentielle, puis faire un changement de variable adéquat faisant apparaître un $\frac{1}{\sqrt{n}}$ et enfin conclure avec de la convergence dominée. -
Notons que la valeur de $l$ se calcule très classiquement et donne $\frac{\sqrt{\pi}}{2 \sqrt{3}}$.
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Bonjour et merci à tous,
Je regarderai du côté de la transformée de Laplace, merci.
Pour Bisam : j'avais effectivement essayé de suivre cette piste. C'est justement le changement de variable adéquat qui me pose problème. Je suis rouillé ! Je dois sûrement passer à côté d'un truc "simple".
Bien cordialement,
Ritchie -
Voici un changement de variable fonctionnel :
$y=\sqrt{n}(1-x)$.
Ensuite, tu pourras appliquer le théorème de convergence dominée. -
Bonjour,
J'essaie. On a une intégrale de la forme $\displaystyle \int_a^b e^{M f(x)} dx$ avec $\displaystyle a<b$, $\displaystyle M>0$ quitte à changer le signe de $f.$
On suppose que $f$ admet en maximum en $m$, alors on développe : $\displaystyle f(x) = f(m) + (x-m) f'(m) + {(x-m)^2 \over 2} f"(m) + ...$
Puisque $m$ est un optimum : $\displaystyle f'(m) = 0.$
On reporte dans l'intégrale : $\displaystyle \int_a^b e^{M f(x)} dx \sim \int_a^b \exp{M (f(m) +{(x-m)^2 \over 2} f"(m) )} dx = e^{M f(m)} \int_a^b \exp{(M{(x-m)^2 \over 2} f"(m) )} dx $ où le signe $\sim$ signifie ce que l'on veut.
Comme en $m$, la fonction $f$ possède un maximum : $\displaystyle f"(m) <0.$
On a donc : $\displaystyle \int_a^b e^{M f(x)} dx \sim e^{M f(m)} \int_a^b \exp{(-M{(x-m)^2 \over 2} |f"(m)| )} dx. $
Dans cet exercice, on a : $\displaystyle u_n = \int_0^1 (3 x^2-2 x^3)^n dx$ pour $n$ entier non nul.
On écrit simplement : $\displaystyle u_n = \int_0^1 e^{n \ln(3 x^2-2 x^3)} dx$ qui est de la forme voulue avec $f(x) = \ln(3 x^2-2 x^3)$ pour $0<x<1.$
On étudie les variations de $f$ : $f'(x) = {6(1-x) \over x(3-2x)}$ qui s'annule en $m=1$ avec $f(1) = 0$, et $f"(x) = {-6 (2x^2-4 x+3) \over x^2 (3-2x)^2}$ et donc $f"(1) = -6.$
On reporte : $\displaystyle u_n = \int_0^1 e^{n \ln(3 x^2-2 x^3)} dx \sim \int_0^1 e^{-n 3 (x-1)^2} dx.$
Le CDV $\sqrt{n} (1-x) = t$ s'impose et on calcule : $\displaystyle u_n = \int_0^1 e^{n \ln(3 x^2-2 x^3)} dx \sim {1 \over \sqrt{n}} \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-3 t^2} dt$ qui ressemble à l'énoncé et permet de conclure.
Enfin, presque, parce qu'il s'agit de faire des maths et non pas des calculs comme je viens de faire... -
Bonjour à tous,
Effectivement, je voulais absolument considérer un changement de variable qui amène $]0,1]$ en $[0,+\infty[$. Merci pour les indications, j'arrive à conclure.
Bien cordialement,
Ritchie
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