$\sqrt{\|.\|_1\|.\|_2}$ est une norme ?
dans Analyse
Bonjour
J'ai essayé de montrer que $N = \sqrt{ \| \cdot \| _1 \| \cdot \| _2 } : x \mapsto \sqrt{ \| x \| _1 \| x \| _2 }$ était une norme sur $\mathbb R^2$ après avoir essayé de nier l'inégalité triangulaire pour diverses valeurs, hélas sans succès. L'inégalité triangulaire induite m'a alors l'air un peu difficile, aussi, j'en appelle à votre aide !
L'idée initiale était de montrer qu'il existait des normes $N_1$ et $N_2$ non proportionnelles telles que $\sqrt{ N_1 N_2} : x \mapsto \sqrt{ N_1(x) N_2(x)} $ était une norme.
Pourriez-vous me dire si $N$ est une norme ou non ? Si non, existe-t-il des normes $N_1$ et $N_2$ vérifiant les hypothèses ci-dessus ?
Merci d'avance !
J'ai essayé de montrer que $N = \sqrt{ \| \cdot \| _1 \| \cdot \| _2 } : x \mapsto \sqrt{ \| x \| _1 \| x \| _2 }$ était une norme sur $\mathbb R^2$ après avoir essayé de nier l'inégalité triangulaire pour diverses valeurs, hélas sans succès. L'inégalité triangulaire induite m'a alors l'air un peu difficile, aussi, j'en appelle à votre aide !
L'idée initiale était de montrer qu'il existait des normes $N_1$ et $N_2$ non proportionnelles telles que $\sqrt{ N_1 N_2} : x \mapsto \sqrt{ N_1(x) N_2(x)} $ était une norme.
Pourriez-vous me dire si $N$ est une norme ou non ? Si non, existe-t-il des normes $N_1$ et $N_2$ vérifiant les hypothèses ci-dessus ?
Merci d'avance !
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Réponses
Je ne pense pas que N vérifie l'inégalité triangulaire.
exemple avec $x= (1,1)$ et $y=(1,0)$
et il se peut bien que N soit une norme.
Je n'ai pas la solution mais une intuition pour prouver que ce n'est pas une norme voici mon idée si quelqu'un arrive à finir :
Déjà pour simplifier les racines je propose de comparer $(N(x) + N(y))^2$ et $N(x+y)^2$
Je trouve $(N(x) + N(y))^2 = ||x||_1 ||x||_2 + ||y||_1 ||y||_2 + 2\sqrt{||x||_1 ||x||_2||y||_1 ||y||_2}$
et $N(x+y)^2 = ||x+y||_1||x+y||_2 \leq (||x||_1 + ||y||_1)(|x||_2 + ||y||_2) = ||x||_1 ||x||_2 + ||y||_1 ||y||_2 + ||x||_1||y||_2 + ||y||_1||x||_2$
Si on pose $a=||x||_1||y||_2$ et $b=||y||_1||x||_2$ les derniers termes de mes lignes précédentes sont $2*\sqrt{ab}$ et $a+b$
Or on sait que la moyenne arithmétique est supérieure ou égale à la moyenne géométrique ($\sqrt{ab}\leq(\frac{a+b}{2}$) donc si on arrive se placer dans un cas d'égalité de la majoration que j'ai faite (inégalité triangulaire sur les normes 1 et 2 en même temps) on aurait la moyenne arithmétique du côté de $N(x+y)$ et la moyenne géométrique de l'autre et donc potentiellement $N(x+y) > N(x) + N(y)$.
Mais c'est peut-être une fausse piste ...
J'ai l'impression que vous majorez $N(x+y)^2$ alors qu'en fait vous vouliez minorer cette quantité...
Ensuite considérer que la sphère pour $\|.\|_2$ est inscrite dans le carré principal de côté $\sqrt2$ auquel on a appliqué une rotation d'angle $\pi/4$ radians et en déduire que $\forall x,~\vert\vert x\vert\vert_2\leq\sqrt2\vert\vert x\vert\vert_1$ pour obtenir au final $\forall x,~(\sqrt2/2)\vert\vert x\vert\vert_2\leq\vert\vert x\vert\vert_1\leq\sqrt2\vert\vert x\vert\vert_1$.
L'équivalence des normes étant obtenue développer $N(x+y)^2$...
Evidemment j'ai essayé l'équivalence des 2 normes en majorant- minorant et en faisant intervenir les constantes $c_1$ et $c_2,$ et ceci de différentes façons. Mais sauf erreur à chaque fois cela n'aboutit pas.
C'est à dire que je veux bien croire en l'idée de @AlainLyon mais il faudrait qu'il montre les détails.
J'en suis arrivé à penser que dans ce cas particulier N est une norme mais pour le démontrer il faut écrire l'inégalité
$N(x+y)^2\leq (N(x)+N(y))^2$ (1)
la prouver (sans faire intervenir $n_i(x+y)\leq n_i(x)+n_i(y)$ sinon c'est bloqué)
C'est à dire (1) est une inégalité faisant intervenir 4 réels (les coordonnées de x et y) ,
inégalité un peu tordue ....
Merci pour votre intérêt porté à ma question.
On aimerait procéder ainsi dans le cas quelconque, où $N : x \mapsto \sqrt{N_1(x) N_2(x)}$.
$N(x+y) = \sqrt{N_1(x+y) N_2(x+y)} \leq \sqrt{(N_1(x) + N_1(y)) (N_2(x) + N_2(y))}$. Le membre de droite est alors inférieur à $N(x) + N(y)$ si et seulement si $ac+ad+bc+bd \leq ac + bd + 2 \sqrt{abcd} \iff ad = bc$, où $a=N_1(x), b= N_1(y), c = N_2(x), d= N_2(y)$.
Ainsi, $\sqrt{(N_1(x) + N_1(y)) (N_2(x) + N_2(y))} \leq N(x) + N(y)$ pour tout $(x,y)$ si et seulement si $N_1$ et $N_2$ sont proportionnelles.
J'ai donc naturellement envie de penser que pour certaines normes $N_1$ et $N_2$ non proportionnelles, $N$ est tout de même une norme (à cause de la première majoration). Il est toutefois relativement facile de trouver des normes $N_1$ et $N_2$ pour lesquelles l'application $N$ associée n'est pas une norme (comme $N_1 = \| \cdot \| _1$ et $N_2 = \| \cdot \| _{\infty }$ ou encore $N_1 : (x,y) \mapsto |x| + 2 |y|$ et $N_2 : (x,y) \mapsto N_1(y,x)$, sauf erreur de calcul de ma part...). Toutefois, je n'ai pas trouvé de contre-exemple simple pour le cas $N_1 = \| \cdot \| _1$ et $N_2 = \| \cdot \| _{2}$.
@AlainLyon n'a-t-on pas plutôt $\| x \| _2 \leq \| x \| _1 \leq \sqrt{2} \| x \| _2$ ? Quel est l'intérêt de cet encadrement ? A trouver un contre-exemple ou à montrer qu'il s'agit d'une norme ?
@Eusebius Je vois.
Muirhead ou Schur s'y cachent peut-être...
EDIT : Donc, il faudrait plutôt montrer $(a+b+c+d) \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + 2(\pm ac+ \pm bd)} \leq (a+b)\sqrt{a^2 + b^2} + (c+d) \sqrt{c^2 + d^2} + 2\sqrt{(a+b)(c+d)\sqrt{(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)}}$, en posant $x=(a,b)$ et $y=(c,d)$, avec $a,b,c,d \geq 0$, toutefois le membre de gauche est maximal quand $\pm ac$ et $\pm bd$ sont positifs, donc il suffit de montrer que (1) est vraie sans les signes $\pm $ ?
À moins que quelqu'un n'apporte une solution nouvelle, je ne vois que cette possibilité et cela devient assez long, voire compliqué !
L'origine du sujet c'est quoi ?
en posant donc $a' = |a|, b' = |b|, c' = |c|,$ et $d' = |d|$.
Toutefois, le membre de gauche est maximal lorsque les symboles $\pm$ sont des signes +, donc il suffit de montrer cette inégalité sans les symboles $\pm$.
Il n'y a pas d'origine, désolé... je me demandais juste si le produit de deux normes était également une norme en rédigeant un mini-cours sur les normes pour un ami.
$$c(\theta)=\frac{1}{\rho(\theta)}+\left(\frac{1}{\rho(\theta)}\right)''>0$$ (voir Lelong-Ferrand et Arnaudies tome 3). Ici pour $\theta\in]0,\pi/2[$ on a
$$c(\theta)=(\cos\theta+\sin\theta)^{-3/4})\left(\frac{19}{16}\cos \theta+\frac{13}{16}\sin \theta\right)>0.$$
La boule convexe en image.
[Contenu du pdf joint. AD]
J'ai juste une petite interrogation : est-ce une puissance $\frac{-1}{2}$ plutôt que $\frac{-1}{4}$ ? J'ai peut-être fait une erreur dans mon calcul.
devrait être identique. Attention tout de même a bien argumenter la preuve car l'équation contient des valeurs
absolues et ainsi la courbe n'est pas de classe $C^2$ en certains points. C'est-à-dire que le rayon de courbure n'est que continue par morceaux sur $[0,2\pi].$
On voit sur ton dessin que la courbe n'est même pas dérivable, mais cela n'a pas d'importance.
Je soutiens d'ailleurs toujours que l'on peut se restreindre au quadrant supérieur droit. En plus, on voit très bien les deux axes de symétrie $x=0$ et $y=0$ sur ton dessin !
Vu toutes les symétries, on peut en effet se restreindre à l'étude de la concavité de la courbe dans le quadrant supérieur droit, et même à l'étude en polaire sur [0;pi/4], mais à condition d'y rajouter la vérification de la valeur de la pente de la courbe au point (1,0), qui doit être négative sans quoi la convexité de l'intérieur n'est plus vraie...
Bon vérification faite, ça marche bien ici : sauf erreur de calcul, la pente en (1,0) vaut -1/2.
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Merci à tous ! :-)