Équivalent d'une intégrale
Bonjour à tous,
Je sèche sur la question suivante :
On pose $u_{n}=\int_{0}^{1}\left(3 x^{2}-2 x^{3}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ et on souhaite montrer que $u_{n} \sim \frac{\ell}{\sqrt{n}}$ avec $\ell=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-3 t^{2}} \mathrm{~d} t$.
J'avoue, je bloque dessus depuis quelque temps...
Des idées ?
Bien cordialement,
Ritchie
Je sèche sur la question suivante :
On pose $u_{n}=\int_{0}^{1}\left(3 x^{2}-2 x^{3}\right)^{n} \mathrm{~d} x$ et on souhaite montrer que $u_{n} \sim \frac{\ell}{\sqrt{n}}$ avec $\ell=\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-3 t^{2}} \mathrm{~d} t$.
J'avoue, je bloque dessus depuis quelque temps...
Des idées ?
Bien cordialement,
Ritchie
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Réponses
Mettre l'intégrande sous forme exponentielle, puis faire un changement de variable adéquat faisant apparaître un $\frac{1}{\sqrt{n}}$ et enfin conclure avec de la convergence dominée.
Je regarderai du côté de la transformée de Laplace, merci.
Pour Bisam : j'avais effectivement essayé de suivre cette piste. C'est justement le changement de variable adéquat qui me pose problème. Je suis rouillé ! Je dois sûrement passer à côté d'un truc "simple".
Bien cordialement,
Ritchie
$y=\sqrt{n}(1-x)$.
Ensuite, tu pourras appliquer le théorème de convergence dominée.
J'essaie. On a une intégrale de la forme $\displaystyle \int_a^b e^{M f(x)} dx$ avec $\displaystyle a<b$, $\displaystyle M>0$ quitte à changer le signe de $f.$
On suppose que $f$ admet en maximum en $m$, alors on développe : $\displaystyle f(x) = f(m) + (x-m) f'(m) + {(x-m)^2 \over 2} f"(m) + ...$
Puisque $m$ est un optimum : $\displaystyle f'(m) = 0.$
On reporte dans l'intégrale : $\displaystyle \int_a^b e^{M f(x)} dx \sim \int_a^b \exp{M (f(m) +{(x-m)^2 \over 2} f"(m) )} dx = e^{M f(m)} \int_a^b \exp{(M{(x-m)^2 \over 2} f"(m) )} dx $ où le signe $\sim$ signifie ce que l'on veut.
Comme en $m$, la fonction $f$ possède un maximum : $\displaystyle f"(m) <0.$
On a donc : $\displaystyle \int_a^b e^{M f(x)} dx \sim e^{M f(m)} \int_a^b \exp{(-M{(x-m)^2 \over 2} |f"(m)| )} dx. $
Dans cet exercice, on a : $\displaystyle u_n = \int_0^1 (3 x^2-2 x^3)^n dx$ pour $n$ entier non nul.
On écrit simplement : $\displaystyle u_n = \int_0^1 e^{n \ln(3 x^2-2 x^3)} dx$ qui est de la forme voulue avec $f(x) = \ln(3 x^2-2 x^3)$ pour $0<x<1.$
On étudie les variations de $f$ : $f'(x) = {6(1-x) \over x(3-2x)}$ qui s'annule en $m=1$ avec $f(1) = 0$, et $f"(x) = {-6 (2x^2-4 x+3) \over x^2 (3-2x)^2}$ et donc $f"(1) = -6.$
On reporte : $\displaystyle u_n = \int_0^1 e^{n \ln(3 x^2-2 x^3)} dx \sim \int_0^1 e^{-n 3 (x-1)^2} dx.$
Le CDV $\sqrt{n} (1-x) = t$ s'impose et on calcule : $\displaystyle u_n = \int_0^1 e^{n \ln(3 x^2-2 x^3)} dx \sim {1 \over \sqrt{n}} \int_{0}^{\sqrt{n}} e^{-3 t^2} dt$ qui ressemble à l'énoncé et permet de conclure.
Enfin, presque, parce qu'il s'agit de faire des maths et non pas des calculs comme je viens de faire...
Effectivement, je voulais absolument considérer un changement de variable qui amène $]0,1]$ en $[0,+\infty[$. Merci pour les indications, j'arrive à conclure.
Bien cordialement,
Ritchie