Cauchy-Schwarz

Bonjour
On a $\forall t \in [a,b] , \ f(t)-f(a) = \displaystyle\int_{a}^t f'(u) du$. Comme $f(a)=0$ alors $f(t)= \displaystyle\int_{a}^t f'(u) du.$
Donc $f^2(t)= \Big( \displaystyle\int_{a}^t f'(u) du \Big)^2.$
Or, $ \displaystyle\int_{a}^t f'(u) du \leq \int_{a}^t |f'(u)| du .$
L'inégalité de Cauchy-Schwarz fournit $ \Big( \displaystyle\int_{a}^t |f'(u)| du \Big)^2 \leq \int_{a}^t f'(u)^2 du \int_{a}^t du.$
Donc $\boxed{\Big( \displaystyle\int_{a}^t |f'(u)| du \Big)^2 \leq (t-a) \int_{a}^t f'(u)^2 du}.$
Je bloque ici.