Les cardinaux des sous-groupes

La première assertion est fausse. Par exemple, le groupe alternée $\mathfrak{A}_4$, qui est d'ordre $12$, n'admet pas de sous-groupe d'ordre $6$.

La deuxième assertion est vraie et porte le nom de lemme de Cauchy. Voici une façon de le démontrer avec l'équation aux classes (tu connais ?).

On se donne un groupe fini $G$ (dont on note l'opération par des produits et le neutre $e$) et un facteur premier $p$ de son ordre $|G|$. On introduit l'ensemble $X$ des $p$-listes d'éléments $(g_1,\dots,g_p)$ de $G$ telles que $g_1g_2\cdots g_p=e$. On fait agir $\Z/p\Z$ sur $X$ par $k\cdot(g_1,\dots,g_p)=(g_{k+1},\dots,g_{k+p})$ où bien sûr $g_{r}=g_{r-p}$ si $r>p$.
Il y a deux types d'orbites : celles de la forme $(g,\dots,g)$, dont le stabilisateur est $\Z/p\Z$, et les autres, dont le stabilisateur est trivial (pourquoi ?). En écrivant l'équation aux classes, on constate que le nombre d'orbites ayant un stabilisateur non trivial est un multiple de $p$ (pourquoi ?) ; il y a donc une orbite $(g,\dots,g)$ avec $g\ne e$ (pourquoi ?) et c'est gagné (pourquoi ?).

Voici la version originale, sans action de groupe ni équation aux classes, juste une relation d'équivalence.

Voyons, dans $(\Z/p\Z)^2$ il y a $p^2-1$ éléments d'ordre $p$ et $1$ d'ordre $1$. Il y a donc $\frac{p^2-1}{p-1}=p+1$ sous-groupes d'ordre $p$ (pourquoi ? tu peux commencer par écrire tous les éléments avec $p=2$). Cela répond négativement à ta dernière question.

(Pour le théorème de Cauchy, ce n'est pas une autre démonstration, au vrai, mais une autre formulation de la même démonstration.)