Bonjour. L'implication suivante est elle juste ?
Soit $(f_n)_n$ une suite de fonctions continues positives sur $]0,1[$ alors
$$
\int_0^1\sum_{n\in\mathbb{N}}f_n(x)dx=\sum_{n\in\mathbb{N}}\int_0^1f_n(x)dx,
$$ où les intégrales sont des intégrales généralisées.
Merci.
Réponses
La justification précise est le Théorème de Fubini-Tonelli pour l'espace $[0,1]\times \mathbb{N}$ muni de la tribu produit $\mathcal{B}([0,1])\otimes\mathcal{P}(\mathbb{N})$ , équipé de la mesure produit $\lambda\otimes \text{Card}(\cdot)$ appliqué à la fonction mesurable positive $g(x,n)=f_n(x)$.
Au pire ce qui risque d'arriver est que les deux membres soient $+\infty$.