Équivalent en 0
dans Analyse
Bonjour à tous
On considère la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par :
$$\forall x\in\R_+^*,\qquad f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{n+n^2x}.
$$ Je sais démontrer que $f$ est correctement définie sur $\R_+^*$, décroissante sur $\R_+^*$, de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R_+^*$, de limite égale à $+\infty$ en $0^+$.
Je ne parviens pas à déterminer un équivalent simple en $0^+$: pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
On considère la fonction $f$ définie sur $\R_+^*$ par :
$$\forall x\in\R_+^*,\qquad f(x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\displaystyle\frac{1}{n+n^2x}.
$$ Je sais démontrer que $f$ est correctement définie sur $\R_+^*$, décroissante sur $\R_+^*$, de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\R_+^*$, de limite égale à $+\infty$ en $0^+$.
Je ne parviens pas à déterminer un équivalent simple en $0^+$: pouvez-vous m'aider ?
Merci d'avance.
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Réponses
Il faut comparer ta série avec une intégrale.
Tu poses $g_x(y)=\dfrac{1}{y+x y^2}$
sur $[n,n+1], g_x(n+1) \leq g_x (y) \leq g_x(n) $
tu intègres et tu sommes membre à membre.
Je crois que ça doit marcher ...
J'avais exploré cette piste, et en reprenant mes notes, je me suis rendu compte d'une erreur de calcul...
Cette piste me semble fonctionner.
On obtient après calculs, sauf erreur de ma part :
$$f(x)\underset{x\to 0^+}{\sim}-\ln(x)$$
Merci.
Je confirme que $f(x)\sim -\ln(x)$ Si tu veux tu peux donner tes calculs...
Merci pour ta réponse bd2017.