Mais pourquoi tout faire bd franchement ? C’est dommage, à chaque fois, tu clos le topic sans le laisser chercher. On peut pas lui reprocher de ne pas chercher dans ces conditions. Peut être que dans 40 posts on y était encore mais là tu ne lui laisses aucune chance.
quel intérêt OShine de se lancer dans cette frénésie de problèmes de concours et de poster sur le forum que tu ne les comprends pas ?
Nombreux sont les intervenants à t'avoir suggéré de procéder autrement.
Fais des problèmes de concours si ca te chante (honnêtement ce ne sont pas les mathématiques les plus intéressantes, ce sont vraiment des problèmes... de concours, et encore spécifique aux concours d'écoles d'ingénieurs, assez différents des problèmes que l'on peut rencontrer à l'agreg par exemple), mais fais les un par un, sérieusement. Cherche en profondeur, laisse toi le temps, et demande de l'aide si tu ne trouves pas. Mais n'en fais pas 15 à la fois.
L'idée de cet exercice (dont je n'ai pas la solution toute faite) est sûrement d'écrire l'équation comme $\displaystyle \int_0^1 g(x)dx = 0$ et mettant tout dans une seule intégrale et en faisant les changements de variables adéquats*.
$\dfrac{1}{3}$, il faut l'écrire comme une intégrale sur $[0~;~1]$, et après, il faut voir.
Moi, j'aurais tendance à virer le $x^2$ dans l'intégrale de droite avant d'essayer de le faire apparaître dans celle de gauche, mais peut-être que c'est plus compliqué de faire comme ça, je n'ai pas encore résolu l'exercice.
*l'aubaine étant bien sûr si tu peux écrire $\displaystyle \int_0^1 g(x)dx = 0$ avec $g$ positive.
J'en ai un peu marre de ces appréciations péremptoires et schématiques sur les problèmes de concours qui seraient moins intéressants que etc. Il y en a un millier par an et parmi eux certains sont sans intérêt, oui, mais d'autres sont très intéressants, et dignes de soutenir la comparaison avec des exercices d'agreg. Celui-ci n'est pas trop mal par exemple.
Je questionnais juste l'objectif d'Oshine : enchaîner les problèmes de concours ou bien se forger une culture mathématiques. Et on peut très bien faire les deux en même temps mais ce n'est pas la seule voie.
Milles excuses pour le caractère péremptoire de mon message précédent.
Zestiria a passé ces concours il y a quelques années, maintenant, il les prépare, et dans quelques années, il essaiera enfin de faire des exercices de Terminale ou de L1.
Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
Si un jour, tu choisis de t'aventurer au-delà du programme de prépa, tu entendras parler de la mesure de Lebesgue et des espaces $L^p$, dans lesquels ce genre d'exercices reviennent. On calcule des normes $\|\cdot\|_p$ de fonctions, ou bien on fabrique des bases orthogonales de $L^2$.
Je ne m'étale pas plus si tu me demandes pas plus de détails, puisque ça t'intéresse assez rarement d'élargir ta culture de cette façon.
Le premier "DONC" laisse croire que puisque $f(x^2)=x$, tu as forcément $f(x)=\sqrt{x}$, ce qui est faux bien entendu.
Par ailleurs, le raisonnement qui suit est farfelu.
Je t'aide à découvrir la première : si tu sais que $f$ est une fonction (continue) définie sur $[0,1]$ et que $f(1/4)=1/2$, peux-tu me dire ce que vaut $f(1/2)$ ?
Ensuite, la deuxième est plus subtile, mais elle n'apparaîtra sans doute plus une fois que tu auras corrigé celle-ci.
Pourtant, dans ce que tu as écrit plus haut, c'est ce que tu fais... tu dis savoir ce que vaut $f(x^2)$ pour un $x$ fixé, puis tu dis que tu en déduis ce que vaut $f(\sqrt{x^2})$.
Soit $f$ une fonction positive sur $[a,b]$. Montrons que si $f \ne 0$ alors $\displaystyle\int_{a}^b f >0$.
Comme $f$ est non nulle, il existe un $x \in [a,b]$ tel que $f(x) >0$. Comme $f$ est continue en $x$, il existe un $\eta >0$ tel que $\forall t \in [a,b] \cap [x-\eta,x+\eta] ,\ |f(t)-f(x)| \leq f(x)/2$ car $f(x) /2 >0$.
Il existe $\eta >0$ tel que $f(t) \geq f(x) /2$
Posons la fonction $g$ définie sur $[a,b]$ par $g(t)=\begin{cases}
f(x) /2 ,& \text{si} \ t \in [a,b] \cap [x-\eta,x+\eta] \\
0 ,& \text{sinon}.
\end{cases}$
Notons $\ell(I)$ la longueur de l'intervalle $[a,b] \cap [x-\eta,x+\eta]$
$g$ est une fonction en escalier et vérifie $f \geq g$. Par croissance de l'intégrale, $\displaystyle\int_{a}^b g =\ell(I) \times \dfrac{f(x)}{2} >0$ d'où le résultat.
La contraposée nous donne que si $\displaystyle\int_{a}^b f \leq 0$ alors $f=0$
Mais $\displaystyle\int_{a}^b f \leq 0$ si et seulement si $\displaystyle\int_{a}^b f =0$ par positivité de l'intégrale.
Tu veux prouver une phrase qui s'écrit "Pour tout x, blabla(x)" et tu prouves "Pour tout x, si on pose y=truc(x) alors blabla(y)".
Ce n'est pas ce qu'on veut prouver !
Ne pas trouver la preuve que j'ai demandée par soi-même nous prouve encore ton manque d'enthousiasme à faire des dessins. On voit encore une fois ta paresse intellectuelle et ta lâcheté face à tes échecs en constatant à quel point chaque message nous rappelle les milliers d'exercices face auxquels tu n'as pris aucune initiative.
Désolé mais cette question est très simple après avoir fait quoi...dix ans de maths ?
Et le pire c'est qu'on ne voit aucune envie de changer...mais bon, on s'y attendait.
Réponses
Le changement de variable $x=u ^2$ dans l' intégrale de gauche
conduit à $\int_0^1 (f(u^2) -u)^2 du =0 $
Puis la continuité donne $f(u)=\sqrt{u}$
quel intérêt OShine de se lancer dans cette frénésie de problèmes de concours et de poster sur le forum que tu ne les comprends pas ?
Nombreux sont les intervenants à t'avoir suggéré de procéder autrement.
Fais des problèmes de concours si ca te chante (honnêtement ce ne sont pas les mathématiques les plus intéressantes, ce sont vraiment des problèmes... de concours, et encore spécifique aux concours d'écoles d'ingénieurs, assez différents des problèmes que l'on peut rencontrer à l'agreg par exemple), mais fais les un par un, sérieusement. Cherche en profondeur, laisse toi le temps, et demande de l'aide si tu ne trouves pas. Mais n'en fais pas 15 à la fois.
Bon courage
$\dfrac{1}{3}$, il faut l'écrire comme une intégrale sur $[0~;~1]$, et après, il faut voir.
Moi, j'aurais tendance à virer le $x^2$ dans l'intégrale de droite avant d'essayer de le faire apparaître dans celle de gauche, mais peut-être que c'est plus compliqué de faire comme ça, je n'ai pas encore résolu l'exercice.
*l'aubaine étant bien sûr si tu peux écrire $\displaystyle \int_0^1 g(x)dx = 0$ avec $g$ positive.
Je questionnais juste l'objectif d'Oshine : enchaîner les problèmes de concours ou bien se forger une culture mathématiques. Et on peut très bien faire les deux en même temps mais ce n'est pas la seule voie.
Milles excuses pour le caractère péremptoire de mon message précédent.
Je ne pense pas lui donner la solution à chaque fois.
Par contre, c'est vrai, assez souvent j'amorce la solution pour qu'il essaye de poursuivre. Mais jamais, il n'avance....
Ceci étant dit. Il donne les exercices dont il a très souvent le corrigé.
Ce qu'il attend de nous c'est qu'on en rajoute un peu plus pour qu'il comprenne le corrigé qui est dans son livre.
Oui ici, j'ai donné la solution, il ne la comprend pas. Comme celle qui est dans son livre peut être. J'ai voulu me faire plaisir.
OShine a depuis longtemps choisi la première option...
J'en fait pas tant que ça que 30 min par jour.
La condition devient $ \displaystyle\int_{0}^1 f(x) dx= \displaystyle\int_{0}^1 x^2 dx+ \displaystyle\int_{0}^1 ( f(x^2) )^2 dx$
$ \displaystyle\int_{0}^1 f(x) dx= \displaystyle\int_{0}^1 [x^2 + ( f(x^2) )^2 ] dx$
Dans l'intégrale de gauche, on pose le changement de variable $x=t^2$, ce qui donne $dx=2 t dt$ et :
$ \displaystyle\int_{0}^1 2 t f(t^2) dt = \displaystyle\int_{0}^1 f(x) dx$
Ainsi, $ \displaystyle\int_{0}^1 [( f(x^2) )^2 -2x f(x^2)+x^2 ] dx=0$
Ce qui est équivalent à $ \displaystyle\int_{0}^1 ( f(x^2)-x)^2=0$
La fonction intégrée étant continue et positive, cela implique que $\forall x \in [0,1] \ f(x^2)=x$
Finalement $\boxed{f(x)= \sqrt{x}}$
Si un jour, tu choisis de t'aventurer au-delà du programme de prépa, tu entendras parler de la mesure de Lebesgue et des espaces $L^p$, dans lesquels ce genre d'exercices reviennent. On calcule des normes $\|\cdot\|_p$ de fonctions, ou bien on fabrique des bases orthogonales de $L^2$.
Je ne m'étale pas plus si tu me demandes pas plus de détails, puisque ça t'intéresse assez rarement d'élargir ta culture de cette façon.
Saurais-tu détailler la preuve de ce dernier enchaînement ?
Soit $x \in |0,1]$. On a $f(x^2)=x$.
Donc $f(\sqrt{x^2})=\sqrt{x}$ car $x \geq 0$. Mais alors $\sqrt{x^2}=|x|=x$ car $x$ est positif.
Finalement $f(x)=\sqrt{x}$
Par ailleurs, le raisonnement qui suit est farfelu.
Je t'aide à découvrir la première : si tu sais que $f$ est une fonction (continue) définie sur $[0,1]$ et que $f(1/4)=1/2$, peux-tu me dire ce que vaut $f(1/2)$ ?
Ensuite, la deuxième est plus subtile, mais elle n'apparaîtra sans doute plus une fois que tu auras corrigé celle-ci.
Dommage : c'était la seule chose qu'il te restait à faire tout seul après le message de bd2017...
Je fixe $x$ dans $[0,1]$.
Alors je peux poser $y=x^2$ et comme $y \in [0,1]$, on a bien $f( y)=x$ soit $f(y)= \sqrt{y}$
Non, ça ne va pas non plus.
Comme $f$ est non nulle, il existe un $x \in [a,b]$ tel que $f(x) >0$. Comme $f$ est continue en $x$, il existe un $\eta >0$ tel que $\forall t \in [a,b] \cap [x-\eta,x+\eta] ,\ |f(t)-f(x)| \leq f(x)/2$ car $f(x) /2 >0$.
Il existe $\eta >0$ tel que $f(t) \geq f(x) /2$
Posons la fonction $g$ définie sur $[a,b]$ par $g(t)=\begin{cases}
f(x) /2 ,& \text{si} \ t \in [a,b] \cap [x-\eta,x+\eta] \\
0 ,& \text{sinon}.
\end{cases}$
Notons $\ell(I)$ la longueur de l'intervalle $[a,b] \cap [x-\eta,x+\eta]$
$g$ est une fonction en escalier et vérifie $f \geq g$. Par croissance de l'intégrale, $\displaystyle\int_{a}^b g =\ell(I) \times \dfrac{f(x)}{2} >0$ d'où le résultat.
La contraposée nous donne que si $\displaystyle\int_{a}^b f \leq 0$ alors $f=0$
Mais $\displaystyle\int_{a}^b f \leq 0$ si et seulement si $\displaystyle\int_{a}^b f =0$ par positivité de l'intégrale.
Je ne vois pas alors. Je savais que ce passage n'était pas si trivial. J'ai hésité quand je suis arrivé à $f(x^2)=x$.
Je n'étais pas convaincu.
Ce n'est pas ce qu'on veut prouver !
Commence donc par justifier que $f(1/4)=1/2$ et essaye de généraliser la démonstration.
h :& [0,1]& \rightarrow &[0,1] \\& t& \mapsto& t^2
\end{array}$ est clairement surjective.
Donc pour tout $y \in [0,1]$, il existe $x \in [0,1]$ tel que $y=x^2$.
Soit $y$ fixé dans $[0,1]$. Il existe $x$ dans $[0,1]$ tel que $y=x^2$
On a alors $f(x^2)=x$ soit $f(y)=x$. Mais $y=x^2 \implies x = \sqrt{y}$ car $x$ est positif.
On a montré $\boxed{\forall y \in [0,1] , \ f(y) = \sqrt{y}}$
1/ Pour tout $x\in [0,1]$, on a $f(x^2)=x.$
Donc :
pour tout $x\in[0,1]$, $\sqrt{x}\in [0,1]$, et d’après 1/, on a $f((\sqrt{x})^2)=\sqrt{x}=f(x).$
Ça irait comme rédaction ou je fais une erreur de raisonnement ?
RAS sinon même si j'aurais mis le f(x) à gauche des dernières égalités.
Ceci-dit moi aussi j'aurais écrit plutôt comme ça $f(x)=f((\sqrt{x})^2)=\sqrt{x}$.
Désolé mais cette question est très simple après avoir fait quoi...dix ans de maths ?
Et le pire c'est qu'on ne voit aucune envie de changer...mais bon, on s'y attendait.