Intégrale $\int_0^\infty1/(1+x^4)$

troisqua · September 2021

Bonsoir,
récemment, un étudiant est venu me demander de l'aider à résoudre un exercice dont le but était le calcul de $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^{4}}$. Dans la première question, il est demandé d'établir que $\displaystyle I=J=\int_{0}^{+\infty}\frac{x^{2}}{1+x^{4}}dx$. Ce n'est pas difficile. Puis de calculer $I$ en posant $x=e^u$ (il n'est pas précisé dans $I$ ou $J$).
L'étudiant est en spé et ne connaît pas le théorème des résidus. De plus, même si une décomposition en éléments simples permet (lourdement) de répondre à la question, il semble qu'il faille y aller avec le changement de variables proposé. Mais voilà, je ne vois pas ce qu'il apporte.
Des idées ?

nicolas.patrois · September 2021

Tu as un $\frac{v^\prime}{v}$, non ?
Non.

Divise numérateur et dénominateur par $e^{3u}$ ?

bisam · September 2021

Il se trouve que l'intégrande de $I+J$ est beaucoup plus sympathique à décomposer en éléments simples que ceux de $I$ ou $J$.

Fin de partie · September 2021

Un grand classique.
\begin{align}J&=\int_0^\infty \frac{1}{1+x^4}dx\\
&\overset{u=\frac{1}{x}}=\int_0^\infty \frac{u^2}{1+u^4}du\\
2J&=\int_0^\infty \frac{1+x^2}{1+x^4}dx\\
&=\int_0^\infty \frac{\frac{1}{x^2}+1}{\frac{1}{x^2}+x^2}dx\\
&=\int_0^\infty \frac{\frac{1}{x^2}+1}{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2+2}dx\\
&\overset{u=x-\frac{1}{x}}=\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{u^2+2}du\\
&=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\arctan\left(\frac{u}{\sqrt{2}}\right)\right]_{-\infty}^\infty\\
&=\frac{\pi}{\sqrt{2}}\\
J&=\boxed{\dfrac{\pi}{2\sqrt{2}}}
\end{align}

nicolas.patrois · September 2021

Fin de partie, fais gaffe, tu divises par 0.

troisqua · September 2021

nicolas.patrois : non tu n'as pas $v'/v$.
Bisam et Fin de Partie, Il se trouve que je connais les techniques que vous me suggérez : je sais résoudre l'exercice. Ce que je ne comprends pas c'est le changement de variables proposé dans l'indication., je ne vois pas ce qu'il est censé apporter.

bisam · September 2021

On peut s'en sortir ainsi :
$\DeclareMathOperator{ch}{ch}$
$\DeclareMathOperator{sh}{sh}$
\[I+J=\int_0^{+\infty}\frac{1+x^2}{1+x^4}dx=\int_{\R}\frac{e^{u}+e^{3u}}{1+e^{4u}}du=\int_{\R}\frac{\ch(u)}{\ch(2u)}du=\int_{\R}\frac{\ch(u)}{1+2\sh^2(u)}du=\int_{\R}\frac{dt}{1+2t^2}\]
en posant $t=\sh(u)$ dans la dernière intégrale.

jandri · September 2021

Le changement de variable $x=e^u$ conduit à $I+J=\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^u+e^{-u}}{(e^u-e^{-u})^2+2}du$.

Edit : je n'ai pas été aussi rapide que bisam !

fjaclot · September 2021

Plus court :

I = 1/4 Beta(1/4;3/4)

fjaclot;

YvesM · September 2021

Bonjour,

Avec $J$ seulement, le CDV $x=e^u$ donne du $\displaystyle {e^u\over \cosh(2 u)}$ et on écrit le numérateur $e^u=\cosh(u)+\sinh(u)$ et les deux intégrales se calculent facilement en remplaçant $\cosh(2 u)$ par du $\sinh(u)$ ou du $\cosh(u)$ selon les formules à retrouver…