Intégrales pour HT
Ci-joint une commande de HomoTopi que je livre ici (enjoy !). Si d'autres en ont du type proposé mais plus pertinente, n'hésitez pas. Je n'ai pas les solutions. Il est possible que j'ai été un peu méchant parfois (puisqu'il faut d'abord bidouiller parfois pour se ramener à la forme académique proposée mais rien de sorcier).
Soit $F$ une fraction rationnelle.
1) $F(\cosh(t),\sinh(t))$ :
a) $\int \frac{dt}{\sinh(t)-\sinh(\alpha)}$
b) $\int \frac{dt}{2\sinh(t)+\cosh(t)+1}$
2) $F\left(t,\sqrt[n]{\frac{at+b}{ct+d}}\right)$ :
a) $\int \frac{t\ dt}{\sqrt{t+1}+\sqrt{t}}$
b) $\int \frac{1}{t}\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}dt$
3) $F(t,\sqrt{at^2+bt+c})$ :
a) $\int \frac{dt}{t^2+t+1}$
b) $\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+t+1}}$
Soit $F$ une fraction rationnelle.
1) $F(\cosh(t),\sinh(t))$ :
a) $\int \frac{dt}{\sinh(t)-\sinh(\alpha)}$
b) $\int \frac{dt}{2\sinh(t)+\cosh(t)+1}$
2) $F\left(t,\sqrt[n]{\frac{at+b}{ct+d}}\right)$ :
a) $\int \frac{t\ dt}{\sqrt{t+1}+\sqrt{t}}$
b) $\int \frac{1}{t}\sqrt{\frac{1-t}{1+t}}dt$
3) $F(t,\sqrt{at^2+bt+c})$ :
a) $\int \frac{dt}{t^2+t+1}$
b) $\int \frac{dt}{\sqrt{t^2+t+1}}$
Réponses
-
Pour ceux qui liraient ce fil : apparemment, les intégrales en question se résolvent avec des techniques "standard" qu'un candidat aux concours de prépa/CAPES/agreg devrait connaitre. Pourtant, je n'en ai jamais entendu parler (et j'ai préparé les 3 types de concours...), alors, on comble les lacunes.
Essayez de ne pas me donner de réponses toutes cuites, merci. C'est moi qui dois bosser :-D et vous me connaissez maintenant, je demanderai de l'aide de toute façon.
Celle qui me donne le plus envie pour commencer c'est la 2)b).
$\displaystyle \int \dfrac{1}{t}\sqrt{\dfrac{1-t}{1+t}}dt =~?$
Réfléchissons. -
Vu que c'est principalement de la recherche de primitives, je ne m'embête clairement pas à rechercher les domaines de validité de mes changements de variables etc.
$\displaystyle \int \dfrac{1}{t}\sqrt{\dfrac{1-t}{1+t}}dt = \int \dfrac{1}{t}\sqrt{\dfrac{2}{1+t}-1}\cdot dt$
J'ai essayé de poser $\boxed{\dfrac{2}{1+t}-1 = \dfrac{1}{u}}$. Après quelques bidouilles et une IPP, il restait à calculer $\displaystyle \int \sqrt{u}\dfrac{2u}{(u^2-1)^2}du$.
Je doute que le calcul se termine facilement avec ça.
J'ai ensuite essayé de poser $\boxed{\sqrt{\dfrac{2}{1+t}-1} = s}$ : $\displaystyle \int \dfrac{1}{t}\sqrt{\dfrac{1-t}{1+t}}dt = 4\int \dfrac{-s^2}{1-s^2}\dfrac{1}{1+s^2}ds$
$\displaystyle \int \dfrac{-s^2}{1-s^2}\dfrac{1}{1+s^2}ds = \int \bigg(1- \dfrac{1}{1-s^2} \bigg) \dfrac{1}{1+s^2}ds =$ $\displaystyle \int \dfrac{1}{1+s^2}ds$ $- \displaystyle \int \dfrac{1}{1-s^2} \dfrac{1}{1+s^2}ds$
Il resterait à primitiver $\displaystyle \int \dfrac{1}{1-s^2} \dfrac{1}{1+s^2}ds$.
$\displaystyle \int \dfrac{1}{1-s^2} \dfrac{1}{1+s^2}ds = \dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{1-s^2}ds +$ $\displaystyle\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{1+s^2}ds$
Et $\displaystyle \int \dfrac{1}{1-s^2}ds = \dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{1-s}ds + \dfrac{1}{2}\int \dfrac{1}{1+s}ds$, ça je sais faire avec des logarithmes. -
On est prie d'ouvrir un cours de premiere annee d'universite (par exemple Dixmier), chapitre 'reduction de certaines primitives a des primitives de fractions rationnelles' Type 1: $\int R(e^x)$, type 2 $\int R(\cos \theta,\sin \theta)$ (et ne pas trop s'enquiquiner avec des regles de Bioche), type 3 $\int R(x,(\frac{ax+b}{cx+d})^{1/n})$, type 4 $\int R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$. Ici $R$ est le quotient de deux polynomes a une ou deux variables.
Cette classification est due a Landau qui rajoute je crois un cinquieme type. Un tel cours presente pour chaque type des changements de variables canoniques et doit etre su. Connaissant d'abord ces changements de variables, on peut inventer quelques astuces racourcissantes dans chaque cas particulier. -
Bonjour,
Homo Topi, pour $\displaystyle \int \dfrac{1}{t}\sqrt{\dfrac{1-t}{1+t}}dt$, tu peux poser $u=\sqrt{\dfrac{1-t}{1+t}}$ comme pour toute fraction rationnelle $R(t,u)$ où u est une racine carrée de fonction homographique en $t$. A toi de voir pourquoi ça marche.
Cordialement,
Rescassol -
P. : on est prié de partir du principe que tout le monde n'a pas accès à une bibliothèque universitaire ni à une fortune à dépenser dans des bouquins. Si j'achetais un bouquin chaque fois qu'on me le recommande, je pourrais faire un labyrinthe de livres comme Gaston Lagaffe. Je fonctionne nettement mieux avec les bouquins que j'ai, que je connais déjà très bien, en rajoutant simplement dans mon classeur de "trucs que j'étais censé apprendre en prépa/Licence/Master mais que je n'ai jamais vus" les choses qu'il faut.
L'intégrale $\displaystyle \int \dfrac{1}{t} \sqrt{\dfrac{1-t}{1+t}}dt$ est du "type 3" de P.. J'ai donc affaire à $\displaystyle \int R(t,h(t)^{1/n})dt$ où $h$ est une fonction homographique.
Ce que j'ai fait, c'est poser $h(t)^{1/n} := y(t)$ et noté $y(t):=s$, donc $h(t)=y(t)^n$. Ensuite, $h$ étant homographique, elle admet une bijection réciproque $h^{-1}$, donc $t = h^{-1}\big(y(t)^n\big) = h^{-1}(s^n)$.
Du coup, l'intégrale prend la forme $\displaystyle \int R(h^{-1}(s^n),s)dt$. Si je ne raconte pas de bêtises, $dt = \big[h^{-1}(s^n)\big]'ds$.
$\displaystyle \int \big[h^{-1}(s^n)\big]'R(h^{-1}(s^n),s)ds$. Si je note $h^{-1} = g$ pour avoir moins de symboles :
$\boxed{\displaystyle \int \big[g(s^n)\big]'R(g(s^n),s)ds}$.
Ce que je constate, c'est que les puissances ne sont plus des racines $n$-ièmes mais des puissances entières, et qu'elles ne sont plus portées par la fonction $h$ ou $h^{-1}=g$ dans $R$, mais par la variable d'intégration. La forme à laquelle j'aboutis invite à faire une IPP, mais écrite telle quelle, ça ne me saute pas aux yeux que j'ai effectivement simplifié problème. -
Il y a une heuristique qui marche à l'occasion (souvent?).
Si dans l'intégrande il y a un facteur $f(g(x))$ qui est ennuyeux du fait de la présence de $g(x)$, essayer un changement de variable $u=g(x)$. Parfois l'application de ce principe nécessite de couper en deux (ou plus) l'intégrale, du fait que sur l'intervalle d'intégration la fonction $g$ n'est pas une bijection. -
Tu as à présent une fraction rationnelle à primitiver et la théorie dit que l'on sait faire ça sans problème (du moment que l'on peut factoriser le dénominateur et faire la décomposition en éléments simples). Donc, ça ne te saute pas aux yeux mais si, tu as bien simplifié le problème.
$h$ étant homographique, $h^{-1}=g$ l'est aussi sous réserve d'existence de $h^{-1}$ (il y a une condition à imposer, il me semble).
P te suggère juste de te cultiver sans attendre que cela arrive par hasard sur le forum... Sinon, il y a plein de choses que tu ne verras jamais si tu attends de tomber dessus par hasard parce qu'un membre de ce forum en parle. C'est pour ça qu'on se procure des livres, qu'on consulte des sites internet ou des cours en lignes gratuits (si tu ne veux pas payer ce que je peux tout à fait comprendre). Maintenant, si tu cherches juste à te faire/refaire une culture mathématique sans objectifs de concours/examens, pas de soucis, je comprends.
Typiquement, tu tombes très vite en tapant "fonctions homographiques primitives" sur google sur ce lien wiki très bien fait avec cours+exo d'application. Ci-dessous l'extrait de mon "Pearson L1". Ce n'est pas de la chance de savoir ces choses, c'est de la lecture d'ouvrages judicieusement choisis, c'est du suivi rigoureux des programmes (quand ils mentionnent la ou les notions en questions parce que ce n'est pas toujours le cas, ou pas toujours très explicite) et c'est par mes cours dans le supérieur qui commencent pour moi aussi à dater. -
Me cultiver par moi-même, je ne fais que ça. Mais comme dit, je n'ai pas un budget (ni une place) illimité pour des bouquins. Je trouve que j'essaie de faire beaucoup de choses, quand même. Je m'intéresse à ce qui m'intéresse, d'une part, et d'autre part, quand justement je tombe "par hasard" sur un truc que je ne connais pas, je ne passe pas bêtement à côté, j'en profite.
EDIT : tu dis que "la théorie" nous dit qu'on sait intégrer les fractions rationnelles, pour une fraction rationnelle de la variable je suis d'accord, mais là j'ai une fraction rationnelle d'une fonction homographique et de la variable. Justement, ce qui ne me saute pas aux yeux c'est qu'une décomposition en éléments simples (puisque c'est ça que j'ai fait dans mon calcul) va effectivement marcher. Quand on écrit une intégrale abstraite de $\big[g(s^n)\big]'R(g(s^n),s)$, au lieu de $F(s)$ avec $F$ fraction rationnelle, ça ne me parait ni évident, ni gratuit, quand même. -
Il faut comprendre que $F(a,b)$ est une fraction rationnelle en les 2 indéterminées a et b.
Autrement dit, $F(a,b)=\frac{P(a,b)}{Q(a,b)}$ avec P et Q des polynômes à 2 variables. Sinon, effectivement, on pourrait mettre n’importe quelle fonction de t et là évidemment, ton intégrande n’a plus de forme particulière qui lui permette d’être primitivée facilement. -
J'ai du mal à formuler ce que je veux dire.
Les intégrales du type $\displaystyle \int \dfrac{p(x)}{q(x)}dx$, où $p$ et $q$ sont des polynômes à une variable, aucun problème.
Mais là, apparemment, je suis censé savoir primitiver des trucs de la forme $\displaystyle \int \dfrac{P(x,f(x))}{Q(x,f(x))}dx$, où $P$ et $Q$ sont des polynômes à deux variables. Je suis persuadé que je n'ai jamais vu quoi que ce soit à propos de ça, donc "la théorie nous dit comment faire", je n'en ai jamais entendu parler. Peut-être que c'est encore une lacune de ma part. Apparemment, il y a des méthodes pour certaines fonctions $f$, c'est de ça dont on parle depuis avant, mais pour $f$ quelconque ? Tu as l'air de dire que je suis censé savoir faire ça, ça ne me dit absolument rien :-S
EDIT : faute d'avoir accès à une BU, j'ai quand même cherché "primitive fonction rationnelle deux variables" sur Google, pour avoir tenté au moins ça. Je n'ai rien trouvé. -
Oui… sauf que f ça n’est jamais n’importe quoi en l’occurrence c’est soit une racine nième de fonction homographiques soit une racine de trinôme… bref c’est une forme particulière ! Si f est quelconque alors là je suis d’accord on ne peut rien dire, ton integrande est trop générale. Si tu es perturbé par mes 2 variables, dis toi que je parle juste de sommes de produit de mes 2 variables c’est tout…
Si tu as un exemple de fonction dont tu ne sais pas si elle est de cette forme, je veux bien… mais sinon, difficile de t’aider davantage. -
Je pense qu'on ne se comprend pas tout à fait.
J'étais parti de $\displaystyle \int R(t, h(t)^{1/n})dt$ : une fraction rationnelle de $t$ et d'une racine $n$-ième de fonction homographique de $t$.
J'ai bidouillé et je suis arrivé à $\displaystyle \int \big[g(s^n)\big]' R(g(s^n), s)ds$ : une fraction rationnelle de $s$ et d'une fonction homographique de $s^n$, multipliée par la dérivée de $g(s^n)$.
Tu me dis que la deuxième forme est plus simple à primitiver parce que c'est "une fraction rationnelle". Sauf que c'est une fraction rationnelle d'un truc similaire à ce que j'avais au début (qui était déjà une fraction rationnelle), j'ai une variable $s$ et une fraction rationnelle de $s^n$, je ne comprends pas ce qui te permet de dire sereinement qu'un truc pareil est simple à primitiver. Quelle est la forme standard de la primitive de $[g(s^n)\big]' R(g(s^n), s)$ ? Visiblement, tu la connais puisque tu dis que c'est simple. Moi, je n'y vois pas clair du tout.
EDIT : Laisse tomber. C'est juste l'écriture générique avec $R$ qui me casse les pieds pour trouver une "forme standard" de primitive. Dans les cas pratiques, on multiplie le numérateur et le dénominateur par le dénominateur de la fonction homographique et il reste un quotient "normal" de deux polynômes. Peut-être de degré trop grand pour qu'une DES soit simple à faire, mais dans les exercices, ce problème ne se posera jamais, et c'est suffisant pour moi. -
Une fonction homographique étant une fraction rationnelle, une fraction rationnelle en $t$ et en une fonction homographique de $t$ est une fraction rationnelle $t$. J'ai manqué quelque chose ?
-
Pour le calcul d'une intégrale définie avant de se précipiter tête baissée il faut voir si l'intégrande ne présente pas des symétries.
Exemple:
$\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1-2x}{\sqrt{x(1-x)}}dx$
Je crois que la méthode préconisée plus haut sera plus longue à mettre en oeuvre que la méthode à laquelle je pense. B-)- -
Et celle ci. $\int_1^\infty \dfrac{\ln (x-1)}{x^2-2 x+2} dx $
-
Hey hey doucement, je n'arrive déjà pas à en faire plus d'une par jour, pas la peine de me bombarder comme ça :-D
Je vais essayer de les faire. -
Celle que j'ai proposée se fait de tête sans papier ni crayon. B-)-
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Quand on sait la faire, oui. Laisse-moi le temps d'essayer avant de me dire que je suis lent, quand même (:D
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L'intégrale de Bd2017 est un peu plus vicelarde que la mienne même si elle n'est pas plus difficile à calculer. B-)-
PS:
le principe heuristique que j'ai décrit plus haut s'applique ici. :-) -
Pas mal celle-ci Fdp, une belle morale pour l'avenir.
-
Il faut bien distinguer les techniques de primitivation pour les fonctions qui ont une primitive élémentaire, c'est-à-dire composée des fonctions usuelles, et le calcul d’intégrales, entre des bornes données, de fonctions qui n'ont pas de telle primitive.
Les techniques de primitivation constituaient autrefois une partie importante du cours de première année, avec parfois des excès de technicité, comme on dit. On a cité plus haut des traités qui donnent ces techniques.
Plus intéressant, et plus « tendance », ce sont les intégrales sans primitive, qui demandent une variété de procédés, et une réelle maestria, comme on peut le voir dans les contributions de FdP sur ce forum.
L'intégrale $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{1-2x}{\sqrt{x(1-x)}}dx$, donnée par FdP, appartient à la première catégorie, et l'intégrale $\displaystyle \int_1^\infty \dfrac{\ln (x-1)}{x^2-2 x+2} dx$, donnée par bd2017, appartient à la seconde. Dans les deux cas, un changement de variable affine initial simplifie bien les choses. En fait elles ont probablement été fabriquées à partir d'une intégrale plus simple, avec un changement de variable affine artificiel, pour compliquer un peu, ce qui n'est pas très malin.
Au lieu de la seconde, on pourrait chercher $\displaystyle \int_1^2 \dfrac{\ln (x-1)}{x^2-2 x+2} dx$, ce serait un peu plus rigolo.
Bonne journée.
Fr. Ch. -
Bonjour.
L'intégrale que propose FdP était d'un type fréquent autrefois en terminale S, on prend une forme de base connue (ici $\frac{U'}{\sqrt U}$) en cachant un peu le fait qu'il y a une dérivée. Sans changement de variable, elle se calcule en une ligne.
Ce qui ne remet pas en cause l'utilisation de symétries dans d'autres cas ...
Cordialement -
Je suis d'accord avec Chaurien sur la classification des intégrales définies.
L'intégrale que j'ai proposée a été obtenue en voulant construire une intégrale où on va utiliser le changement de variable $y=x(1-x)$ (qui est à manier précautionneusement ici) ce qu'on répugne à faire généralement.
Mais je me suis rendu compte chemin faisant qu'il n'y avait pas besoin de se fatiguer à faire ce changement de variable-là. :-D
La méthode usuelle marche aussi j'imagine (mais cela doit être encore plus pénible à mettre en oeuvre) -
Et il y a aussi dans la même veine les intégrales comme:
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx$
(on peut la calculer de tête) -
Cette dernière présente une particularité. Elle est primitivable, mais si l'on ne veut que l'intégrale entre les deux bornes données (qu'on nommait naguère « intégrale définie »), la primitive est inutile.
-
Bonjour,
Soit $I=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx$ et $J=\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin x}{\cos x+\sin x}dx$.
Comme $I=J$ (Poser $u=\dfrac{\pi}{2}-x)$ et $I+J$ est évidente, on peut effectivement le faire de tête.
Cordialement,
Rescassol -
Pour être sûr que personne ne va bouriner en cherchant une primitive on peut s'intéresser à celle-ci aussi:
$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\dfrac{\sin(\cos x)}{\sin(\cos x)+\sin(\sin x)}dx$
(qui se calcule toujours de tête) -
Bonjour,
C'est presque sournois :-D
Cordialement,
Rescassol -
On s'éloigne quand même pas mal du sujet initial comme l'a dit Chaurien. A la base, HT m'a demandé en MP, en réaction à ce post des exos de calcul de primitives dans les cas que j'ai énoncés au début (fraction rationnelle, racine de trinôme,..) parce qu'il n'en avait jamais entendu parler. Je voulais lui envoyer un mail avec pièce jointe mais il a préféré que je poste sur le forum et s'en est suivi la digression qui lui sera quand même profitable j'espère.
Bien sûr qu'on peut calculer plein d'intégrales (impropres convergentes ou même continues sur un segment) sans avoir de primitives 'explicites' mais ce n'était pas sa question. C'est un peu pour Oshine que je disais ça surtout. Quand il existe une recette de cuisine, qui ne demande pas de réflexion, d'originalité ou d'inventivité, autant la connaitre surtout dans l'optique de gagner du temps et des points pour un examen ou un concours. Mais bon, le connaissant, il va sûrement zapper tout ça par fainéantise, parce qu'il n'en voit pas l'intérêt, parce que ce n'est pas "au programme" ou je ne sais quelle excuse stupide. -
Oh oui, ça me sera profitable, mais je me suis enfoncé dans l'autre fil de FdP et je pensais que j'en aurais beaucoup plus vite fini là-bas :-D
Dès que j'ai fini le calcul dans l'autre fil, je reprends ici. Vous connaissant, il va y avoir encore d'autre contributions entre temps, ça me fait une vraie fiche de TD (:D -
Quand dans une intégrande apparaît le terme $\sqrt{1-x^2}$ on a envie de se précipiter sur le changement de variable $x=\sin u$.
Mais si $x=\dfrac{1-u^2}{1+u^2}$ avec $u\geq 0$ alors $\sqrt{1-x^2}=\dfrac{2u}{1+u^2}$ et on a fait disparaître la racine carrée. -
J'essaie la 2)a) de Alexique :
$\displaystyle \int \dfrac{t}{\sqrt{t}+\sqrt{t+1}}dt$ :
J'hésite entre poser un CDV $s=\sqrt{t}$ et multiplier par le conjugué du dénominateur. Puisque les CDV c'est plus fatiguant, je commence par l'autre.
$\displaystyle \int \dfrac{t}{\sqrt{t}+\sqrt{t+1}}dt =\int \dfrac{t(\sqrt{t+1}-\sqrt{t})}{(\sqrt{t+1}+\sqrt{t})(\sqrt{t+1}-\sqrt{t})}dt = \int t(\sqrt{t+1}-\sqrt{t})dt = \int t\sqrt{t+1}dt - \int t\sqrt{t}dt$
$= \displaystyle \int (t+1)\sqrt{t+1}dt - \int \sqrt{t+1}dt - \int t\sqrt{t}dt = \boxed{\displaystyle \int (t+1)^{3/2}dt - \int \sqrt{t+1}dt - \int t^{3/2}dt}$.
Après on peut poser $x=t+1$ dans les deux premières intégrales. Normalement tout se calcule.
Pour tester : si j'avais posé $s=\sqrt{t}$ dès le début, alors à la physicienne* $t = s^2$, $\sqrt{t+1} = \sqrt{s^2+1}$, $\dfrac{dt}{ds} = 2s$
$\displaystyle \int \dfrac{t}{\sqrt{t}+\sqrt{t+1}}dt = 2\int \dfrac{s^3}{s+\sqrt{s^2+1}}ds$.
On peut probablement bidouiller encore un minimum (par exemple simplifier l'intégrande par $s$) mais ça ne m'a pas l'air dingue comme méthode.
*notamment, je ne m'embête pas avec la bijectivité du CDV, ce qui est un peu normal quand je n'ai pas de bornes. -
Bonjour,
Racine carrée de second degré, conique, paramétrage ...........
Ou $s=\sinh(u)$.
Cordialement,
Rescassol -
Je commencerais plutôt par $u=\sqrt{t+1}$, qui tue déjà un des deux radicaux.
-
Notez que Wolfram Alpha donne la réponse.
-
Chaurien : Au départ, ça ne m'intéresse pas que WolframAlpha donne la réponse. Je n'ai pas envie que ma culture mathématique se résume à "je sais utiliser WolframAlpha", je veux savoir faire les choses moi-même. Quand il s'agit de faire des raisonnements ensemblistes/algébriques, j'arrive encore à peu près à m'en sortir, mais j'ai l'impression d'être assez inculte en matière de calcul, donc je travaille à ça. Quand j'ai l'impression d'avoir trouvé une réponse, là oui je vais demander à WolframAlpha de confirmer, mais pas avant.
Je trouve que travailler avec un corrigé disponible a moins d'intérêt, ça guide un peu trop à mon goût. J'avais fait un fil une fois sur la différence entre (j'adapte au contexte) un exercice du type "montrer que $\displaystyle \int_a^b f(t)dt = C$ et "calculer $\displaystyle \int_a^b f(t)dt$". Quand on ne sait pas quel résultat on est censé trouver, l'exercice est plus difficile. Il me suffit de savoir que j'ai les connaissances nécessaires pour répondre à la question, après le reste c'est à moi de combiner les informations dont je dispose. Normalement, je suis capable de trouver comment primitiver toutes les fonctions du message d'Alexique, il suffit que je bidouille et trouve la bonne astuce. -
La recherche de primitives de fonctions choisies justement pour que ce soit difficile, ce n'est pas d'un grand intérêt à l'époque actuelle, où un logiciel vous fait ça en moins de temps qu'il n'en faut pour taper l'énoncé.
Si l'on persiste à chercher cette dernière intégrale, je rappelle que pour une intégrale avec $\sqrt{ax^2+bx+c}$, $a>0$, on peut penser au changement de variable $\sqrt{ax^2+bx+c}=x\sqrt a +u$. L'avantage est de rester dans les calculs algébriques, mais ils sont em...poisonnants.
Bonne après-midi.
Fr. Ch. -
Je trouve quand même inintéressant de demander à un logiciel de pondre une réponse qu'on pourrait trouver soi-même. J'utilise rarement une calculatrice pour la même raison. A chacun sa façon de voir les choses.
-
Ça m'a incité à aller regarder la feuille d'exercices sur le sujet, que j'avais fabriquée, avec ce bon vieux ChiWriter, pour mes élèves de Math. Sup. il y a trente ans (comme le temps passe...). Je vous la joins. Il est amusant de constater que dans l'exercice 10, figure à peu près l'intégrale dont nous parlions présentement. Je vous signale les deux autres de cet exercice 10, qu'on peut dire « pseudo-elliptiqes » mais qui sont quand même des primitives élémentaires. Mais je répète, ce n'est plus ce que l'on fait faire aux hypotaupins d'aujourd'hui, et pour une fois je pense qu'il n'y a pas lieu de le regretter.
Bonne après-midi.
Fr. Ch. -
J'essaierai sûrement d'en faire quelques-uns, merci du partage.
-
Dans la feuille d'exercice de Chaurien il y a cette intégrale $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}}\ln(1+\tan t)dt$
L'identité trigonométrique dont je parlais me semble très utile ici. :-) -
Maintenant, celle-ci de FdP. Avec son indice, j'ai trouvé que l'intégrande est "impair autour de $1/2$", et comme l'intégrale est prise sur un intervalle symétrique autour de $1/2$, l'intégrale vaut $0$.
Je n'ai appris l'astuce de la symétrie que pour des fonctions impaires à intégrer sur un intervalle symétrique par rapport à $0$. Bon, vous allez me dire qu'il suffit d'un minimum d'imagination pour l'adapter à d'autres contextes, comme ici. Et c'est vrai. Mais en même temps, il ne me serait jamais sauté aux yeux que $f(x) := \dfrac{1-2x}{\sqrt{x(1-x)}}$ vérifie $f\Big(\dfrac{1}{2}-x\Big) = -f\Big(\dfrac{1}{2}+x\Big)$. Pour des fonctions où j'ai une idée de la tronche du graphe, pourquoi pas, mais ici, aucune idée à quoi ça ressemble.
Connaitre l'astuce, c'est une chose, reconnaitre une situation où elle est utilisable, c'en est une autre. J'ai du mal avec ça, on dirait. -
Boécien : rien que sur Wikipédia, il y en a plus d'une dizaine. Quand on en a quelques-unes, il suffit sûrement de s'amuser avec des changements de variables ou d'autres bidouilles pour en fabriquer d'autres. Il doit y avoir des milliers d'intégrales "pas trop moches à écrire" qui valent $G$...
-
HT:
Le changement de variable $u=1-x$ réglait l'affaire très simplement.
$\dfrac{2x-1}{\sqrt{x(1-x)}}=\dfrac{x-(1-x)}{\sqrt{x(1-x)}}$ ce qui fait qu'en effectuant le changement de variable indiqué on va obtenir l'opposé de la valeur qu'on cherche. Un nombre réel qui est égal à son opposé est nul. -
C'est le même problème : pourquoi penser à ce CDV-là en particulier ?
-
Celle-ci de bd2017, je peux la résoudre avec ceci.
$\displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{\ln(x-1)}{x^2-2x+2}dx = \int_1^{\infty} \dfrac{\ln(x-1)}{(x-1)^2+1}dx$. Il me parait naturel d'espérer trouver un truc en factorisant le dénominateur ici.
Ensuite, au vu de la tronche de l'intégrande, $t=x-1$ me parait également assez naturel : $\displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{\ln(x-1)}{(x-1)^2+1}dx = \int_0^{\infty} \dfrac{\ln t}{t^2+1}dt$.
Et là, il faut connaitre $G$. -
Boécien:
C'est une bonne technique de soustraire deux intégrales pour faire disparaître un terme indésirable et garder celui qu'on souhaite. Il y en a d'autres des intégrales qui donnent la constante $\text{G}$ et qui ne sont pas listées dans ce papier. -
HT:
Tu as déjà oublié? :-D
PS:
On n'a pas besoin de parler de $\text{G}$ pour faire ce calcul.
Je suppose que tu voulais couper l'intégrale en deux? Cela peut se faire comme ça aussi si tu sais quoi faire du second morceau. B-)-
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