Il n'est sans doute pas nécessaire de l'expliciter. On pose $q_n = \frac{1}{n}$ si $n$ n'est pas carré parfait et on complète par une bijection quelconque entre les carrés parfaits et les rationnels de $[0;1]$ autres que les inverses des non carrés parfaits. On pourrait en écrire une explicitement, mais je pense que c'est inutile. On sait qu'elle existe et cela suffit.
Tu vas un peu vite en besogne, Frédéric, il me semble.
Il faut quand même faire en sorte de choisir l'ordre des rationnels de sorte que $\frac{q_n}{n}$ ne soit pas trop grand.
Cela parait faisable, mais ce n'est pas si simple à justifier.
Pas besoin, ils sont tous plus petits que $1$ et donc on n'a pas besoin de fixer l'ordre.
Petit exercice légèrement plus compliqué (mais pas trop) : Si $0$ est valeur d'adhérence d'une suite $(u_n )_n $, alors il existe une bijection $\phi $ entre $\mathbb N $ et $\mathbb Q $ telle que la série des $u_n \phi (n)$ soit absolument convergente.
Ah oui, je n'avais pas vu qu'on se restreignait aux rationnels dans [0,1]...
Ça m'apprendra à lire l'énoncé correctement. Vu le nombre de fois que je le préconise à mes élèves en une année, il est de bon ton que je l'applique à moi-même !
Mais comment a-t-on l’existence de la bijection des carrés parfaits vers les rationnels de [0,1] différents de 1/n ? Je sais que l’ensemble des rationnels est dénombrable mais je ne saurais pas justifier l’existence de cette bijection là proprement.
Merci.
Réponses
Il faut quand même faire en sorte de choisir l'ordre des rationnels de sorte que $\frac{q_n}{n}$ ne soit pas trop grand.
Cela parait faisable, mais ce n'est pas si simple à justifier.
Petit exercice légèrement plus compliqué (mais pas trop) : Si $0$ est valeur d'adhérence d'une suite $(u_n )_n $, alors il existe une bijection $\phi $ entre $\mathbb N $ et $\mathbb Q $ telle que la série des $u_n \phi (n)$ soit absolument convergente.
Ça m'apprendra à lire l'énoncé correctement. Vu le nombre de fois que je le préconise à mes élèves en une année, il est de bon ton que je l'applique à moi-même !
Merci.