$(f^2)'(x)=2 f'(x) f(x)$ et comme $\forall x \in [a,b] \ f'(x) \leq 1$ on obtient $(f^2)'(x) \leq 2f(x)$
Tu supposes que $f$ est positive, c'est vrai mais tu ne l'as pas montré. Et sois plus attentif, c'est juste des petites inégalités de collège et tu zappes que pour avoir conservation du sens, il faut un facteur positif... C'est quand même un peu triste.
Ev te propose de montrer qu'on peut remplacer l'hypothèse $f$ de classe $C^1$ par l'hypothèse $f$ dérivable en te suggérant une façon de faire différente pour la question 1.
Intérêt : diversifier les points de vue.
Réponses
$(f^2)'(x)=2 f'(x) f(x)$ et comme $\forall x \in [a,b] \ f'(x) \leq 1$ on obtient $(f^2)'(x) \leq 2 f(x)$
Intégrons sur le segment $[a,x]$, ce qui donne :
$\displaystyle\int_{a}^x (f^2)'(t) dt \leq 2 \displaystyle\int_{a}^x f(t) dt$
Donc $f^2(x) -f^2(a) \leq 2 \displaystyle\int_{a}^x f(t) dt$
Mais $f(a)=0$ donc $\boxed{f^2(x) \leq 2 \displaystyle\int_{a}^x f(t) dt}$
Tu supposes que $f$ est positive, c'est vrai mais tu ne l'as pas montré. Et sois plus attentif, c'est juste des petites inégalités de collège et tu zappes que pour avoir conservation du sens, il faut un facteur positif... C'est quand même un peu triste.
Comme $f'(x) \geq 0$, $f$ est croissante sur $[a,b]$. Mais $f(a)=0$ donc $f$ est positive.
$f^3(t)=f(t) f^2(t) \leq 2 f(t) \displaystyle\int_{a}^t f(x) dx$
On intègre sur le segment $[a,b]$, ce qui donne :
$\displaystyle\int_{a}^b f^3(t) dt = \displaystyle\int_{a}^b \left( 2 f(t) \displaystyle\int_{a}^t f(x) dx \right) dt$
Je bloque ici.
On a $\displaystyle\int_{a}^b f^3(t) dt \leq \displaystyle\int_{a}^b \left( 2 f(t)\displaystyle\int_{a}^t f(x) dx \right) dt$
Posons $g(t)= \displaystyle\int_{a}^t f(x) dx $ alors $g'(t)=f(t)$. Par conséquent :
$\displaystyle\int_{a}^b \left( 2 f(t)\displaystyle\int_{a}^t f(x) dx \right) dt = \displaystyle\int_{a}^b 2 g'(t) g(t) dt= g^2(b)=g^2(a)=g^2(b)$
Donc $\boxed{\displaystyle\int_{a}^b f^3(t) dt \leq \left( \displaystyle\int_{a}^b f(t) dt \right)^2}$
Où t'es-tu servi de la continuité de $f'$ ?
e.v.
e.v.
Intérêt : diversifier les points de vue.