Application de classe C1
Réponses
-
Tu sais dériver non ?
-
Ca crève un peu les yeux, (f²(x))' =?
-
Plutôt $(f^2)'(x)$, mais c'est peut-être du pinaillage...
-
Oui, avec un smartphone, on ne voit pas bien ce qu'on écrit.
-
D'accord merci. Votre indication m'a permis de trouver la question 1. Je ne sais pas si j'ai bien justifié ma réponse.
$(f^2)'(x)=2 f'(x) f(x)$ et comme $\forall x \in [a,b] \ f'(x) \leq 1$ on obtient $(f^2)'(x) \leq 2 f(x)$
Intégrons sur le segment $[a,x]$, ce qui donne :
$\displaystyle\int_{a}^x (f^2)'(t) dt \leq 2 \displaystyle\int_{a}^x f(t) dt$
Donc $f^2(x) -f^2(a) \leq 2 \displaystyle\int_{a}^x f(t) dt$
Mais $f(a)=0$ donc $\boxed{f^2(x) \leq 2 \displaystyle\int_{a}^x f(t) dt}$ -
OS a écrit:$(f^2)'(x)=2 f'(x) f(x)$ et comme $\forall x \in [a,b] \ f'(x) \leq 1$ on obtient $(f^2)'(x) \leq 2f(x)$
Tu supposes que $f$ est positive, c'est vrai mais tu ne l'as pas montré. Et sois plus attentif, c'est juste des petites inégalités de collège et tu zappes que pour avoir conservation du sens, il faut un facteur positif... C'est quand même un peu triste. -
Oui merci en effet, détail important.
Comme $f'(x) \geq 0$, $f$ est croissante sur $[a,b]$. Mais $f(a)=0$ donc $f$ est positive. -
Oui, c'est mieux.
-
Pour la question $b$ on utilise directement la question $a$ ce qui fournit :
$f^3(t)=f(t) f^2(t) \leq 2 f(t) \displaystyle\int_{a}^t f(x) dx$
On intègre sur le segment $[a,b]$, ce qui donne :
$\displaystyle\int_{a}^b f^3(t) dt = \displaystyle\int_{a}^b \left( 2 f(t) \displaystyle\int_{a}^t f(x) dx \right) dt$
Je bloque ici. -
Reprends depuis le début, remplace $b$ par $x$ et dérive à nouveau.
-
Je n'ai pas compris ton indication JLapin, mais je pense avoir trouvé une solution.
On a $\displaystyle\int_{a}^b f^3(t) dt \leq \displaystyle\int_{a}^b \left( 2 f(t)\displaystyle\int_{a}^t f(x) dx \right) dt$
Posons $g(t)= \displaystyle\int_{a}^t f(x) dx $ alors $g'(t)=f(t)$. Par conséquent :
$\displaystyle\int_{a}^b \left( 2 f(t)\displaystyle\int_{a}^t f(x) dx \right) dt = \displaystyle\int_{a}^b 2 g'(t) g(t) dt= g^2(b)=g^2(a)=g^2(b)$
Donc $\boxed{\displaystyle\int_{a}^b f^3(t) dt \leq \left( \displaystyle\int_{a}^b f(t) dt \right)^2}$ -
@ OShine.
Où t'es-tu servi de la continuité de $f'$ ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Nulle part
-
La continuité de f' est utile dans la question 1 pour pouvoir intégrer $(f')^2$.
-
Et si tu étudies les variations de $h : x\in[a~,~b] \longmapsto f^2(x) - 2 \int_a^x f(t) \, \mathrm dt$ ?
e.v.Personne n'a raison contre un enfant qui pleure. -
Je ne vois pas l'intérêt.
-
Ev te propose de montrer qu'on peut remplacer l'hypothèse $f$ de classe $C^1$ par l'hypothèse $f$ dérivable en te suggérant une façon de faire différente pour la question 1.
Intérêt : diversifier les points de vue.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.8K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres