Intégrale d'automne

Fin de partie · September 2021

\begin{align}\int_0^1 \frac{\ln^2 x}{1+x^2}dx&=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^1 x^{2n}\ln^2 xdx\\
&=2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}\\
&=2\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n+1)^3}-2\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n+3)^3}\\
\end{align}

Et on ne sait pas comment, a priori, calculer cette différence de séries.

NB:
\begin{align}\int_0^\infty \frac{\ln^2 x}{1+x^2}dx=2\int_0^1 \frac{\ln^2 x}{1+x^2}dx\end{align}

PS:
Par contre, on sait exprimer:
\begin{align}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n+1)^3}+\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n+3)^3}\end{align}
en fonction de $\zeta(3)$ puisqu'on a de telles expressions pour $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n+2)^3}$ et $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(4n)^3}$

Homo Topi · September 2021

FdP : par rapport à ce message

Je n'aurais clairement jamais pensé à prendre une primitive en $y$ s'il y a encore un $u$ qui traine dans la fonction.

Cela dit, vu que je n'ai pas la moindre idée comment démontrer les résultats que tu "supposes connus", je ne sais pas si je ne ferais pas mieux de juste abandonner.

Fin de partie · September 2021

HT:
Moi non plus mais j'ai vu cette technique à l'oeuvre lors de mes nombreuses lectures (probablement sur Math Exchange) et je suis devenu fan de cette méthode qui ne nécessite pas de connaître des identités sorties de derrière les fagots.

Si on considère $\displaystyle \int_0^\infty\int_0^\infty \frac{\ln^{2n}(xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}dxdy$ on peut arriver, si je me souviens bien, à démontrer une relation de récurrence qui permet de calculer $\zeta(2k)$.

Homo Topi · September 2021

Je pense que je devrais quand même étudier la fonction $\zeta$, vu que tu t'en sers beaucoup pour calculer des intégrales. Tu trouves beaucoup de calculs d'intégrales plus simples que moi parce qu'il y a beaucoup d'intégrales où moi, je ne reconnais rien, mais toi, tu reconnais des valeurs de $\zeta$, $G$ ou des choses comme ça (cosinus/sinus/logarithme intégral, etc). Forcément, si l'on connait ces formes d'intégrales-là, on s'y retrouve un peu mieux !

Fin de partie · September 2021

HT:
On sait calculer l'intégrale $\displaystyle \int_0^1 x^p\ln^q x dx$ pour $p,q$ entiers naturels (à une constante rationnelle multiplicative près cela vaut $\dfrac{1}{(p+1)^{q+1}}$ )
La méthode donnée par YvesM plus haut marche souvent (mais pas toujours):
On développe en série entière l'intégrande on intervertit somme et intégrale et à la fin on se retrouve souvent avec des expressions du type $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^k}=\zeta(k)$ avec $k\geq 2$.
Toutes les intégrales du type $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln^k x}{1-x}dx$ sont, par exemple, exprimables en fonction de $\zeta(k+1)$ avec $k\geq 1$.
Je suis fan de la constante $\text{G}$. C'est grâce à elle, d'une certaine façon, que je suis entré dans le monde des intégrales. Je ne remercierai jamais assez Fjaclot. :-)

Homo Topi · September 2021

J'essaierai d'apprendre ces choses-là. En attendant, j'ai 47 intégrales à faire dans un fil qui m'est dédié :-D

Fin de partie · September 2021

HT. \begin{align}
\int_0^\infty \frac{\ln x}{1+x^2}dx\overset{u=\frac{1}{x}}=-\int_0^\infty \frac{\ln u}{1+u^2}du

\end{align} Un nombre réel qui est égal à son opposé est nul. B-)-

On peut montrer de même que :
\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\ln^{2n+1} x}{1+x^2}dx=0\end{align} avec $n$ un entier naturel.

Homo Topi · September 2021

Je n'aurais pas pensé à tester ce CDV dans cette intégrale, je dois peut-être y penser plus souvent en présence de logarithmes. Cela dit, pour penser à ce CDV, peut-être qu'il faut déjà savoir que c'est $0$ qu'on doit trouver.

etanche · September 2021

@Homo Topi où sont les 47 intégrales ?

Fin de partie · September 2021

HT:
Moi non plus, mais à force d'être confronté à ce type de calculs tu sais ce qu'il faut faire le cas échéant (parce que tu l'as lu quelque part).

$\dfrac{dx}{1+x^2}$ et $\dfrac{dx}{x}$ sont invariants par le changement de variable $u=\dfrac{1}{x}$ (je parle de ce qui a sous le signe intégrale pas des bornes)

C'est intéressant aussi de savoir que $\dfrac{dx}{1+x^2}$ et $\dfrac{dx}{1+x}$ sont invariants par le changement de variable $u=\dfrac{1-x}{1+x}$

Par exemple, cela permet de savoir ce que vaut $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{\ln\left(\frac{1-x}{1+x}\right)}{1+x^2}dx$ rien qu'en regardant.

Homo Topi · September 2021

etanche : ici

FdP : oui, un intégriste comme toi (:-D) doit avoir l'habitude, mais quand j'étais étudiant on ne faisait largement pas assez de calculs d'intégrales pour développer toutes ces habitudes, et depuis la fin de mes études j'ai fait beaucoup de choses qui n'ont aucun rapport avec les calculs d'analyse... je m'y suis "remis récemment" mais il faut le temps de faire assez d'exos, je n'y suis pas encore.

Fin de partie · September 2021

HT: Il n'y a pas tant que ça de trucs à savoir. Le reste c'est de l'intuition liée à la pratique.
Je ne suis pas très intéressé par le calcul de primitives même si je connais les bases j'imagine.
L'informatique est plus efficace que nous pour trouver une primitive puisque c'est essentiellement l'application d'algorithmes.
(certaines primitives que donne Wolfy sont inutilisables dans la pratique même si elles sont correctes. Le travail de simplification qui suivra est bien plus difficile que de trouver la primitive)

PS:
Et je t'épargne le détail de la technique que j'ai perfectionnée ces dernières années*.
Elle s'applique à des intégrales du type $\displaystyle \int_0^1 Q(x)F(x)\ln^p x dx$ avec $Q$ une fraction rationnelle généralement $F$ est le logarithme de quelque chose ou l'arctangente de quelque chose.
C'est un truc culotté qui n'est en fait qu'une intégration par parties mais on va prendre comme primitive $\displaystyle \int_0^x Q(t)\ln^p tdt$ ce qu'il fallait oser faire (parce qu'on ne voit pas a priori le bénéfice qu'on va en retirer. Cela ressemble plus à de l'esbroufe mais cela n'en est pas dans un certain nombre de cas)

*: j'aimerais bien pouvoir la généraliser, cela permettrait de "dévisser" des intégrales, en quelque sorte, mais pour le moment je n'ai pas assez d'imagination pour prendre une voie viable. :-(

jandri · September 2021

J'ai retrouvé le fil où Fin de partie traitait les intégrales $\displaystyle J_n=\int_0^{\infty} \frac{\ln^{2n} x}{1+x^2}\,dx$ et $\displaystyle K_n=\int_0^\infty \int_0^\infty\frac{\ln^{2n} (xy)}{(1+x^2)(1+y^2)}\,dx\,dy$ :

Encore un calcul d'intégrale (double)