Bijection de rationnels et séries

Oui, on peut. Il suffit de prendre pour tout les $n$ qui ne sont pas des carrés parfait des valeurs plus petites que $\frac{1}{n}$.

Il n'est sans doute pas nécessaire de l'expliciter. On pose $q_n = \frac{1}{n}$ si $n$ n'est pas carré parfait et on complète par une bijection quelconque entre les carrés parfaits et les rationnels de $[0;1]$ autres que les inverses des non carrés parfaits. On pourrait en écrire une explicitement, mais je pense que c'est inutile. On sait qu'elle existe et cela suffit.

Pas besoin, ils sont tous plus petits que $1$ et donc on n'a pas besoin de fixer l'ordre.

Petit exercice légèrement plus compliqué (mais pas trop) : Si $0$ est valeur d'adhérence d'une suite $(u_n )_n $, alors il existe une bijection $\phi $ entre $\mathbb N $ et $\mathbb Q $ telle que la série des $u_n \phi (n)$ soit absolument convergente.