Germes et morphismes d'anneaux

gimax · September 2021

Bonjour

EDIT : j'ai oublié de préciser que les espaces d'arrivés sont $\R$, on regarde des (germes d') applications à valeurs réelles.

Pour $x\in \R^n$, on note $G(n,x)$ le germe des fonctions $C^\infty$ en $x$. Plus précisément, si on note $C^\infty(\R^n)$ l'ensemble des applications $C^\infty$ sur $\R^n$, on note
$$
A_x:=\{f\in C^\infty(\R^n)\:|\: f \text{s'annule sur un voisinage de } x\}.
$$
L'ensemble $A_x$ est un idéal de $C^\infty(\R^n)$ et $G(\R^n,x)$ est le quotient de $C^\infty(\R^n)$ par $A_x$.

Un élément de $G(n,x)$ est noté $\bar f$.

On note $I(n,x) :=\{ \bar f \in G(n,x)\:|\ \bar f (x)=0\}$. C'est un idéal de $G(n,x)$.

Ma question est la suivante : soit $\phi : G(n,x) \to G(k,y)$ un morphisme d'anneaux. Comment montrer que $\phi(I(n,x)) \subset I(k,y)$.

J'ai vu ceci posé en exercice et je n'y arrive pas. Je précise qu'il n'y a pas d'autres hypothèses, en particulier pas d'hypothèses autres sur $\phi$, ni d'hypothèses sur $n$ et $k$.

Frédéric Bosio · September 2021

Je pense que les anneaux G(n,x) et G(k,y) sont locaux et que leurs idéaux maximaux sont respectivement I(n,x) et I(y,k).

gimax · September 2021

En effet Frédéric. Du coup, il suffit de montrer que l'idéal engendré par $\phi(I(n,x))$ n'est pas $G(k,y)$ tout entier.

De plus, les idéaux $I(n,x)$ et $I(k,y)$ sont principaux. Il suffit donc de montrer, si je note $f$ un générateur de $I(n,x)$, que l'idéal engendré par $\phi(f)$ n'est pas $G(k,y)$ tout entier.

Mais en fait une fois que j'ai dit ça, je ne sais plus quoi faire...:-(

raoul.S · September 2021

Tu es sûr que $\phi$ n'est pas surjectif ?

gimax · September 2021

Raoul : la surjectivité de $\phi$ n'est pas dans les hypothèses. Je ne vois pas comment elle pourrait être automatique...

raoul.S · September 2021

Hum je crois que j'ai trouvé.

On considère le morphisme $\psi : G(k,y)\to \R$ d'évaluation en $y$. Dit autrement, pour tout $\bar f\in G(k,y)$, $\psi(\bar f):=f(y)$. Le noyau de $\psi$ est $I(k,y)$.

Alors le morphisme $\psi\circ\phi : G(n,x)\to \R$ est surjectif (chaque réel est l'image d'une fonction constante). Donc son noyau est l'idéal maximal $I(n,x)$. Donc $I(n,x)=\phi^{-1}\circ\psi^{-1}(0)=\phi^{-1}(I(k,y))$.

Donc $\phi(I(n,x)) \subset I(k,y)$.

gimax · September 2021

Ah merci raoul !

Juste pour être sûr d'avoir bien compris car le "Donc son noyau est $I(n,x)$" n'est pas immédiat pour moi... Voici comment je crois comprendre les choses :

On sait que le noyau est un idéal. De plus l'application $\overline{\psi \circ \phi} : G(n,x)/\ker \psi \circ \phi \to \R$ est isomorphisme d'anneaux. Or $\R$ est un corps, donc $G(n,x)/\ker \psi \circ \phi $ aussi, ce qui impose que $\ker \psi \circ \phi$ est un idéal maximal. Et donc, il n'y a plus le choix.

Est-ce bien cela ?

Si oui, j'ai l'impression que la question est en fait propre aux anneaux locaux : si je prends $A$ et $B$ deux anneaux locaux d'idéaux maximaux respectifs $I$ et $J$ et si $\phi : A \to B$ est un morphisme d'anneaux, alors $\phi(I) \subset J$ :
On peut reprendre le même raisonnement en remplaçant $\psi$ par $p : B \to B/J$ la projection canonique. Est-ce que je raconte n'importe quoi ?

raoul.S · September 2021

gimax a écrit:

Est-ce bien cela ?

Oui c'est bien ça.

Pour le reste je ne sais pas si de façon générale on peut en déduire que $\phi(I) \subset J$. Dans mon post j'ai utilisé le fait que $\psi\circ\phi : G(n,x)\to \R$ est surjectif. Dans le cas général comment montrer que $\psi\circ\phi : A\to B/J$ est surjectif ?

gimax · September 2021

Ah oui, en effet.

Mais d'ailleurs, je ne suis pas sûr de comprendre d'où provient la surjectivité de $\psi \circ \phi$ : comment sait-on qu'on attrape toutes les fonctions constantes dans l'image de $\phi$ ?

raoul.S · September 2021

C'était le point "délicat" de l'argument que j'ai passé sous silence :-D

En fait $G(n,x)$ est une $\R$-algèbre car il contient les fonctions constantes qui s'identifient à $\R$. La restriction de $\psi \circ \phi$ à $\R$ (aux fonctions constante quoi) induit un morphisme de corps de $\R$ dans $\R$.

Or un résultat classique dit qu'il n'y a qu'un seul endomorphisme de corps de $\R$, l'identité. Donc la restriction de $\psi \circ \phi$ à $\R$ est surjective.

Je ne sais pas si ça te va comme "preuve". On peut faire plus rigoureux en explicitant un peu plus.