Récapitulatif approximation de fonctions

Quelques résultats en vrac :

- Théorème de Stone-Weierstrass : Toute sous-algèbre unitaire séparante de $\mathcal C(X, \mathbb R)$, et toute sous-algèbre unitaire séparante de $\mathcal C(X, \mathbb C)$ stable par conjugaison complexe, avec $X$ compact, y est dense. Application : les polynômes dans $\mathcal C([a, b], \mathbb R)$, les polynômes trigonométriques dans $\mathcal C(\mathbb T, \mathbb C)$, et plus généralement si $G$ est un groupe abélien localement compact alors l'image de la transformée de Fourier sur $L^1(G)$ est dense dans $\mathcal C(\hat G, \mathbb C)$.

- Si $(X, \mathcal A, \mu)$ est un espace mesuré, les fonctions étagées sont denses dans $L^p(E)$ pour $1 \leq p \leq +\infty$.

- Si $\Omega$ est un ouvert non vide de $\mathbb R^n$ et $1 \leq p < +\infty$, les fonctions continues à supports compacts dans $\Omega$ sont denses dans $L^p(\Omega)$. Ça vient de la régularité de la mesure de Lebesgue. En particulier, $L^p(\Omega) \cap L^q(\Omega)$ est dense dans $L^p(\Omega)$, l'espace de Schwartz est dense dans $L^p(\mathbb R^n)$.

- Si $\Omega$ est un ouvert non vide de $\mathbb R^n$ et $1 \leq p <+\infty$, les fonctions $\mathcal C^{\infty}$ à supports compacts dans $\Omega$ sont denses dans $L^p(\Omega)$. Ça s'obtient par convolution avec une approximation de l'unité, et le résultat précédent est utilisé dans la preuve (voir Brézis par exemple).

- Théorème de Mergelyan : Soit $K$ un compact d'intérieur non vide de $\mathbb C$ tel que $\mathbb C \setminus K$ est connexe. Alors les fonctions polynomiales sont denses dans $\mathcal H(K)$ (fonctions continues sur $K$, holomorphes sur l'intérieur de $K$, munies de la topologie de la convergence uniforme sur $K$).