Intégrale sur une courbe
Bonsoir à tous !
Je bloque depuis sur une question à choix multiples et je sollicite votre aide s'il vous plaît.
La question est la suivante :
Soit $\Gamma$ la partie supérieure du cercle d'équation $x^2 +y^2=25$. Alors $\int_{\Gamma}yd\Gamma$ est égal à :
A)25; B)5 ;C)50
J'ai raisonné de la sorte : on a $\Gamma=\{(5\cos t~,5\sin t);t\in[0,\pi] \}$
$$ \begin{align}
\int_{\Gamma} y d\Gamma &= \int_{0}^{\pi} 5\sin t(-5\sin t) \\ &=\frac{-25\pi}{2} \end{align} $$
J'aimerais savoir si j'ai mal raisonné ou si c'est l'exercice qui est erroné.
Je bloque depuis sur une question à choix multiples et je sollicite votre aide s'il vous plaît.
La question est la suivante :
Soit $\Gamma$ la partie supérieure du cercle d'équation $x^2 +y^2=25$. Alors $\int_{\Gamma}yd\Gamma$ est égal à :
A)25; B)5 ;C)50
J'ai raisonné de la sorte : on a $\Gamma=\{(5\cos t~,5\sin t);t\in[0,\pi] \}$
$$ \begin{align}
\int_{\Gamma} y d\Gamma &= \int_{0}^{\pi} 5\sin t(-5\sin t) \\ &=\frac{-25\pi}{2} \end{align} $$
J'aimerais savoir si j'ai mal raisonné ou si c'est l'exercice qui est erroné.
Réponses
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Tu peux détailler le calcul de $d\Gamma$ ?
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Il faut relire la définition d'intégrale curviligne https://fr.wikipedia.org/wiki/Intégrale_curviligne
Edit : pas vu RLC ci-dessus. -
En fait j'ai pensé que $d\Gamma =(-5\sin t~dt~,5\cos t~dt) $
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Et concrètement comment tu intègres un vecteur dans une intégrale scalaire ? Et pourquoi le savant cosinus a disparu ?
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Ici je vois la fonction $f(x,y)=y$ comme la fonction vectorielle $g(x,y)=(y,0)$ ensuite je fais un produit scalaire . Je fais celà parcequ'on définit souvent l'intégrale curviligne par $\int_{\Gamma} P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
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La "définition" de l'intégrale curviligne appliquée à ta courbe donne $\displaystyle\int_{0}^{\pi}f(\Gamma(t))\cdot \|\Gamma'(t)\|dt$
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Ce n'est pas du tout la définition que j'aie pu voir d'une intégrale curviligne. Les occasions où j'ai pu rencontrer une telle écriture étaient seulement les énoncés de Stokes et ses copains Green et Riemann.
Lis donc le lien wiki de raoul.
Edit : j'ajoute pour l'heuristique de la question initiale qu'obtenir un résultat négatif en manipulant une intégrande positive n'est pas très bon signe. -
Merci raoul. Ce qui m'embrouillait était la présence du $d\Gamma$ (dérivé de la courbe) au lieu du $ds$ (dérivé d'une variable) qu'on a l'habitude de voir.
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Merci pour la remarque Riemann
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C'est exactement pour ce genre de choses que je déteste beaucoup de cours sur les intégrales curvilignes, de surface, etc.
On te donne une formule qui finit par $d\Gamma$ sans te dire qui c'est. Super pédagogique. -
Je pensais être le seul à détester celà.
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Kcg : un cours de maths qui ne définit pas ses notations (!!!) de manière compréhensible par le public visé, n'est pas un cours de maths.
"Définissez les termes, vous dis-je, ou jamais nous ne nous entendrons." - Voltaire -
Je suis plutôt d'accord pour dire que les cours sur les intégrales curvilignes sont vraiment expédiés et incompréhensibles, et les bonnes références pour remédier aux lacunes difficiles à trouver.
raoul : ça depend si tu trouves ça drôle. -
Je n'ai jamais vu cette notation $d\Gamma$ pour une intégrale curviligne.
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dans le même genre, tu as des intégrales de surface sur une surface $S$ qui se terminent par "$dS$" et il faut soi-même deviner qui est $dS$. J'en ai vu plein, des comme ça. Mais un cours qui t'explique comment calculer $dS$ en fonction du paramétrage de $S$ (si tu en as un) ? Je ne sais pas si j'ai déjà vu ça.
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