Formule de Stirling
dans Analyse
Bonjour
Pendant une heure de permanence, j'ai essayé de redémontrer la formule de Stirling à ma façon (je ne connais même pas la preuve normale).
J'ai remarqué qu'en partant des deux formules facilement démontrables $\displaystyle \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n \sim e$ et $\displaystyle \Gamma(z) \Gamma(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z} \Gamma(2z) \sqrt{\pi}$ on pouvait après des calculs et des calculs que je ne vais [pas] pour l'instant recopier (c'est long d'écrire en latex donc j'enverrai pour l'instant une photo un peu floue...), on arrive à :
$$\frac{\Delta(2z)}{\Delta(z)\Delta(z+\frac{1}{2})} \sim \frac{\Gamma(2z)}{\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})}.
$$ Avec $\displaystyle \Delta(z)=z^{z-\frac{1}{2}}e^{-z}\sqrt{2 \pi}$
Je me demande donc, si cela est suffisant pour pouvoir écrire
$$\Delta(z) \sim \Gamma(z)\quad ?
$$ Merci d'avance
Si non, comment finir ma preuve.
Pendant une heure de permanence, j'ai essayé de redémontrer la formule de Stirling à ma façon (je ne connais même pas la preuve normale).
J'ai remarqué qu'en partant des deux formules facilement démontrables $\displaystyle \Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n \sim e$ et $\displaystyle \Gamma(z) \Gamma(z+\frac{1}{2})=2^{1-2z} \Gamma(2z) \sqrt{\pi}$ on pouvait après des calculs et des calculs que je ne vais [pas] pour l'instant recopier (c'est long d'écrire en latex donc j'enverrai pour l'instant une photo un peu floue...), on arrive à :
$$\frac{\Delta(2z)}{\Delta(z)\Delta(z+\frac{1}{2})} \sim \frac{\Gamma(2z)}{\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})}.
$$ Avec $\displaystyle \Delta(z)=z^{z-\frac{1}{2}}e^{-z}\sqrt{2 \pi}$
Je me demande donc, si cela est suffisant pour pouvoir écrire
$$\Delta(z) \sim \Gamma(z)\quad ?
$$ Merci d'avance
Si non, comment finir ma preuve.
Je suis donc je pense
Réponses
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Il n'y a pas de preuve "normale".
A une époque, c'était la mode dans le journal The American mathematical monthly* de publier des preuves de la formule de Stirling. Je crois en avoir compté au moins une demi-douzaine mais mon décompte est sans doute très incomplet. B-)-
*: j'ai passé un temps certain à lire les sommaires de cette revue qui date de 1894 si je me souviens bien. -
Fdp: je voulais dire que je ne connais pas la preuve de la formuleJe suis donc je pense
-
Quentino37: Moi non plus je ne connais pas par coeur une telle preuve.
J'ai déjà du mal à retenir la formule elle-même. B-)-
Dans les années 90, j'avais acheté un t-shirt noir sur le boulevard Saint-Michel à Paris avec cette formule imprimée dessus et une citation probablement apocryphe d'Einstein*. B-)-
*: je crois que j'ai passé un oral du CAPES vêtu de ce t-shirt. -
En faite je voulais dire que je n'ai même jamais lu de preuve de cette formuleJe suis donc je pense
-
Quentino37:
C'est un peu normal si je me souviens de ton niveau d'étude.
Une preuve de ce résultat est donnée dans un cours de mathématiques post-bac. On m'en a certainement donné une.
(je me souviens avoir vu un développement asymptotique avec plus de termes dans un cours d'arithmétique durant ma scolarité à l'université).
Il me revient un souvenir. On peut donner une preuve qui fait intervenir les intégrales de Wallis.
Dans cette preuve, si je me souviens bien, on montre qu'il existe une constante $C$ telle que $n!$ est asymptotiquement $Cn^{1+\frac{1}{2}}\text{e}^{-n}$ et pour déterminer la constante $C$ interviennent des intégrales de Wallis.
Intégrales de Wallis $\displaystyle W_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n} x dx$ -
Ok!
(Mais tu ne répond toujours pas à la question posé dans ce filJe suis donc je pense -
Bonsoir,
Quentino37, voilà ci-joint un sujet que j'ai posé plusieurs fois en TS, c'était un DM facultatif pour les prétendants à une prépa. Ils n'étaient même pas obligés de le traiter en entier.
Cordialement,
Rescassol -
Merci beaucoupJe suis donc je pense
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Mais donc, est-ce que si $$\frac{\Delta(2z)}{\Delta(z)\Delta(z+\frac{1}{2})} \sim \frac{\Gamma(2z)}{\Gamma(z)\Gamma(z+\frac{1}{2})}\qquad\text{alors}\qquad \Delta(x)\sim \Gamma(x)\qquad?$$Je suis donc je pense
-
non
-
Et quelle sont les conditions pour que ça marche?Je suis donc je pense
-
Aucune idée !
Ca me semble bien trop compliqué à caractériser autrement. -
Ok ! Ça me permettrait de finir ma démonstration... :-)Je suis donc je pense
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C'était bien tenté...
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Ici, tes 2 fonctions sont des fonctions bien particulières.
En fait, ta question est :
Soient f et g deux fonctions quelconques. On sait que ..., peut-on en déduire ...
Et la réponse est non.
Prenons $f(x) = e^{x+10}$ et $g(x) = e^x$ ... ...Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
Lourran. Sauf erreur,
$$\frac{e^{2x+10}}{e^{x+10}e^{x+1/2+10}}=e^{-10,5}
$$ n'est pas équivalent à $$\frac{e^{2x}}{e^{2x+1/2}}=~e^{-1/2}.$$Je suis donc je pense -
Intéressant problème. Équivalent en prenant $f=\log \Delta/\Gamma$ à se demander si $f(2x)-f(x)-f(x+\frac{1}{2})\xrightarrow[x\to\infty]{} 0$ entraîne $f=0. $ Sûrement non. Au passage, quelles sont les fonctions continues $g$ sur $\R$ telles que $$g(2x)-g(x)-g\Big(x+\frac{1}{2}\Big)=0\quad?$$
-
J'ai vérifié 5 fois mes calculs avant de proposer ce contre-exemple... je pense que tu n'as vérifié ton calcul que 3 fois.Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin
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Lourran: C'est à dire? Je me suis trompé?Je suis donc je pense
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Oui, sur le numérateur de la 1ère fraction.
Non !!!
désolé, c'est moi !
Oupssssssss!Tu me dis, j'oublie. Tu m'enseignes, je me souviens. Tu m'impliques, j'apprends. Benjamin Franklin -
"La" preuve naturelle qui a le mérite de ne pas demander de connaître le résultat en avance, en plus de mobiliser tout un tas de techniques de spé, est de développer asymptotiquement $\ln(n!)$. Ça semble naturel.
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Bonjour!
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