Sommes de séries extraites

Pour (a), l'idée est de profiter de la divergence de la série harmonique et du fait que son terme général tende vers 0 pour permettre à la somme partielle d'approcher aussi près que souhaité de x sans le dépasser par une sorte de procédé algorithmique que tu peux essayer de trouver.

Attention : seuls 0 et 1 sont autorisés, pas -1 et 1 mais le principe reste le même.

Bonjour,

Je propose pour les questions $(b)$ et $(c)$, pas tout à fait faciles, les réponses suivantes.

Notons $ \forall n \in \N^*, \:a_n = \dfrac 1{n^2},\quad R_n = \displaystyle \sum_{k=n}^{+ \infty} a_k ,\quad T = \displaystyle \sum _{n=2}^{+ \infty}a_n, \qquad \forall A \subset \N^*, \:\: S_A = \displaystyle \sum _{n\in A} a_n.\quad $ On va prouver:
$$ \boxed {\Big\{S_A \mid A\in \mathcal P\left(\N^*\right)\Big \} =[0;T]\cup [1;1+T] .}$$
Il suffit pour cela d'établir: $\quad [0;T]\subset \Big\{S_A \mid A \in \mathcal P\left(\N\setminus\{0;1\}\right) \Big \} . \quad (\bigstar)\:\:\:$

$\forall n \in \N$ tel que $n\geqslant 2 , \:\:a_n< \dfrac 1{n+1}< \displaystyle \sum_{k=n+1} ^{+\infty} a_k.\qquad a_n <R_{n+1}. \quad (1)$
$ \forall y \in ]0;S]. \quad \exists ! n\geqslant 2$ tel que $R_{n +1}<y\leqslant R_n.\qquad $ Avec $(1)$, on obtient: $\quad a_n<y \leqslant R_n , \quad 0<y-a_n \leqslant R_{n+1}. \quad(2)$

Soit $x \in [0;T]$ tel qu'il n'existe pas de partie $A$ finie de $\N^*\setminus \{1\}$ verifant $x= S_A.$
Ce choix de $x$ et l'inégalité $(2) $ permettent de définir une suite d'entiers $(n_k)_{k\in \N^*}$ strictement croissante de la manière suivante:
$R_{n_1 +1}<x \leqslant R_{n_1},\quad \forall k>1, \quad R_{n_{k} +1} <x - \displaystyle \sum_{i=1} ^{k-1} a_{n_{i}} \leqslant R_{n_{k}}.\quad$ Elle satisfait alors à: $0 <x- \displaystyle \sum_{i=1} ^{k}a_{n_i}\leqslant R_{n_k +1}.$
On déduit: $\:\:\displaystyle \lim _{k\to + \infty}\sum_{i=1}^k a_{n_i} = x, \:\: $ ce qui achève la preuve de $(\bigstar)$.

Ce qui précède conduit à l'obtention, pour les suites $(a_n)_n\:\text{décroissantes telles que}\: \displaystyle \sum _{n=1}^{+\infty}a_n =S \in \R, $ de la caractérisation demandée par la troisième question.
$$\boxed{\Big\{S_A \mid A\in \mathcal P\left(\N^*\right)\Big \} =[0;S]\iff \forall n \in \N^*, \:\: a_n \leqslant R_{n+1}.}$$
On peut néanmoins adapter ce critère à une suite $(a_n) _n$ quelconque en utilisant une permutation $\sigma$ de $\N^*$ qui rend la suite $(a_{\sigma(n)}) _n $ décroissante.