Inégalité de Hardy, séries

Bonjour
Pour le (a) tu remplaces $v_{n-1}$ en fonction de $u_n$ et $v_n$, tu mets tout d'un seul côté
et tu as un carré $>0$.
Peut-être c'est ce que @JLapin a voulu dire.

Pour l'optimalité de la constante. On fixe $N$ et on considère la suite définie par
$u_k=\dfrac{1}{\sqrt{k}},\ 1\leq k\leq N\ $ et $\ u_k=0,\ k> N$.
Si $n>N$ on minore $v_n$ par 0.
Sinon, avec $n\leq N$ on a $\quad\displaystyle \sum_{k=1}^n \dfrac{1}{\sqrt{k}} \geq 2 \sqrt{n} -2. $
Donc $v_n^2 \geq \dfrac{4}{n} \Big(1 - \dfrac{2}{\sqrt{n}}\Big).$
On a donc $\quad\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} v_n^2 \geq 4 \sum_{n=1}^N \dfrac{1}{n} -8 \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^{3/2}} \geq 4 \sum_{n=1}^N u_n^2 \bigg( 1 -\dfrac{
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^{3/2}} } {\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}} \bigg)$.
Ainsi la constante est plus grande que $\displaystyle 4 \bigg( 1 -\dfrac{
\sum_{n=1}^N \frac{1}{n^{3/2}} } {\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}} \bigg)$.

En faisant tendre $N$ vers l'infini, on obtient bien que $4$ est optimal.

Merci c'est corrigé.