Ordre de grandeur
Bonjour,
Je réfléchis à une activité sur les ordres de grandeur pour l'enseignement scientifique en première.
Ce qui me dérange c'est que l'on dit d'une part que l'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre; et d'autre part que si un nombre écrit en écriture scientifique $a\times 10^n$ est tel que a>5 alors son ordre de grandeur est $10^{n+1}$. Or il me semble que le milieu entre $10^n$ et $10^{n+1}$ est $5,5\times 10^{n}$. Donc $5,3\times 10^n$ est plus proche de $10^n$ que de $10^{n+1}$.
Dîtes moi si je me trompe.
Merci.
Je réfléchis à une activité sur les ordres de grandeur pour l'enseignement scientifique en première.
Ce qui me dérange c'est que l'on dit d'une part que l'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre; et d'autre part que si un nombre écrit en écriture scientifique $a\times 10^n$ est tel que a>5 alors son ordre de grandeur est $10^{n+1}$. Or il me semble que le milieu entre $10^n$ et $10^{n+1}$ est $5,5\times 10^{n}$. Donc $5,3\times 10^n$ est plus proche de $10^n$ que de $10^{n+1}$.
Dîtes moi si je me trompe.
Merci.
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Réponses
Personnellement, je préfère 3.2
Mais dans les faits, pour des élèves de première, je dirais que le seuil, c'est 5.
Et si je leur donne des exercices, j'évite absolument des cas du type 4.3 10^n ou 5.4 10^p
Comme ça ? Ou bien a-t-on une raison plus pertinente ?
C’est pour que ce soit une puissance de 10 ? Je trouve ça moche (je suis très partial !).
Faut-il vraiment théoriser l’ordre de grandeur, en 1ère ?
Je ne me moque pas, et ne suis pas ironique.
L’ordre de grandeur marque notre esprit humain qui compte en base dix.
J’oserais dire (avant la théorie !) que c’est le chiffre de plus haut rang qui donne l’ordre de grandeur.
Est-on de l’ordre du $mm$, du $cm$, du $dm$, du $m$, etc. ?
Ainsi, le 5 me semble disons « logique » (acception du langage courant) pour départager grossièrement (« il faut bien une règle ! », quoique…).
Intuitivement je ferais plutôt passer à la puissance supérieure quand le chiffre est au moins 8.
En gros : 800 c’est de l’ordre du millier mais 700 … pfff ? Je ne sais pas…
Je ne sais pas dire si la préférence pour le 3,2 est un excès de zèle de matheux (que j’aurais pu avoir il y a quelques années, ou bien qu’il m’arrivera d’avoir certains jours) ou bien quelque chose de plus pertinent.
La notion « ordre de grandeur » est tout de même intuitivement liée à la psychologie de celui qui lit un article scientifique.
Et dès qu’on veut psychologiser les maths ou plutôt mathématiser la psychologie, je trouve cela pompeux.
C’est écrit dans les programmes explicitement, cette histoire ?
Une remarque : je ne sais plus le nom, mais je retrouverai, il existe un site où pour chaque grandeur, de l’infiniment petit à l’infiniment grand, on propose quelque chose qui en a la taille (en gros : virus, insecte, humain, monument, planète, etc.).
C’est en anglais… mais c’est tout ce que je sais.
Cela me semble bien plus intéressant à faire passer.
Au lycée, j'ai appris "autour de 5" et c'est tout. Pas de problème avec ça.
Après pour des exemples, je ferais calculer plein de "accéleration dûe à la présence de" (la terre/la lune/le soleil/Saturne/Jupiter/Mars, etc) pour (la terre, la lune, un homme sur terre, etc), et comparer les ordres de grandeur.
Cordialement.
NB : Voulais-tu parler de 5,5 ?
Si c'est pour en faire une belle théorie alors je n'ai pas de réponse.
Si c'est pour anticiper la valeur d'un résultat et/ou éviter des fautes alors je ne conseille pas d'arrondir au plus proche, mais plutôt de compenser les autres ordres de grandeur: si un coup j'arrondis au supérieur, alors l'autre valeur je l'arrondis à l'inférieur (dans le cas de multiplications ou d'additions). Ca me semble bien plus efficace et ça développe une meilleure intuition à mon sens.
je ne comprends pas de que tu racontes, l'ordre de grandeur de 200 est les centaines et celui de 2000 est les milliers. On ne cherche pas à comparer des nombres, mais à donner pour un nombre, son ordre de grandeur.
Cordialement.
Pour moi, un ordre de grandeur se voit dans la notation scientifique : un nombre en écriture décimale compris entre 1 et 10 (10 exclu) multiplié par la puissance entière de 10 nécessaire.
Exemples :
_ $200 = 2 × 10^2$ : l'ordre de grandeur est $10^2$
_ $2250 = 2.25 × 10^3$ : l'ordre de grandeur est $10^3$
_ $0.0318 = 3.18 × 10^{-2}$ : l'ordre de grandeur est $10^{-2}$.
Ce n'est pas parfait, mais les comparaisons d'ordres de grandeurs sont du niveau des comparaisons entre entiers, et entre valeurs de même ordre de grandeur, c'est les comparaisons de mantisses qui permettent de conclure (comparaison de décimaux).
Cela s'applique mal aux expressions mathématiques exactes car ce n'est pas prévu pour.
À bientôt.
[Édit : Correction d'un empressement, merci gerard0, sinon pour ta remarque, j'ai bien précisé que ce n'était pas parfait.]
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Cordialement.
NB : Et l'ordre de grandeur de 9,9999 102 est-il raisonnablement 102 ?
Sur cette base $5.001 × 10^2$ et $4.999 × 10^2$ ne sont pas sensés avoir même ordre de grandeur.
Je reste en recherche d'une solution à ce problème.
Une piste pourrait être les dimensions normalisées issues des séries de Renard (des nombres qui divisent l'échelle logarithmique en intervalles égaux entre deux graduations principales), il me semble qu'on a déjà évoqué cela sans l'exprimer complètement il y a quelques mois.
À bientôt.
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Par contre, et par convention, l'arrondi à la dizaine la plus proche n'est effectivement pas le même. Mais qui irait arrondir environ 5 à 0 ou à 10 ? Il faut être raisonnable.
Un ordre de grandeur de $5,001\times 10^{2}$ est $5\times 10^{2}$; un point c'est tout !
Cordialement.
Effectivement il faut que je me repose.
Bonne continuation.
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On veut une fonction en escalier, discontinue.
Donc, pour chaque point où la fonction n'est pas continue, on a 2 réels, très proches l'un de l'autre, pour lesquels on dit qu'ils n'ont pas le même ordre de grandeur.
On peut reformuler le besoin en disant : on dit que 2 nombres a et b ont le même ordre de grandeur ssi a/b est compris entre 1/10 et 10.
Mais avec un autre problème à gérer. On peut avoir 3 nombres a,b et c, tels que a et b aient le même ordre de grandeur, b et c aient le même ordre de grandeur , mais a et c n'aient pas le même ordre de grandeur.
Cordialement.
NB : On a le même problème avec les valeurs approchées et avec les arrondis. Tout ça est à manipuler avec intelligence.
Les valeurs approchées sont tout de même bien définissables en ajoutant la précision souhaitée.
Mais il est dangereux d'approcher une valeur approchée même à tant près.
Cordialement.
Effectivement, mais l'ordre de grandeur n'est ni 106, ni 107. C'est 5 106.
Vouloir n'utiliser que des puissances de 10 fausse la notion d'ordre de grandeur.
On peut dire aussi que c'est un nombre à 7 chiffres, ce qui est peu utilisable.
Il serait peut-être temps de cesser cette tétracapillotomie.
Mais en proportion, non. Il y a un coefficient de 5.3 dans un cas, et de 1.9 dans l'autre.
Et quand on parle d'ordres de grandeur, on s'intéresse à peu près toujours aux proportions.
Tu peux défendre la limite à 5.5 ; sur un strict plan arithmétique, tu as raison. Si tu veux passer pour un original, tu as raison aussi.
Mais si tu veux faire preuve de bon sens, oublie ce 5.5.
Quand on dit « ordre de grandeur de la centaine de mètres » ça veut dire « quelques centaines de mètres ».
Il faut donc arrondir les puissances par le bas.
Donc 500 mètres sont de l’ordre de la centaine de mètres.
Clair ?
Donc, d'après toi, l'élève devrait cocher la case $10^2$ à la question: quelle est l'ordre de grandeur de 900 mètres?
Réponse A: $10^2$
Réponse B: $10^3$
C'est en contradiction avec la définition de Bulledesavon donné dans son premier message et que je retrouve souvent dans le cas d'un nombre écrit en notation scientifique (je parle de placer le curseur arbitrairement à 5 et non pas cette histoire de "plus proche" qui peut se comprendre de manière différente selon l'échelle linéaire ou logarithmique).
Personnellement j'aurais une préférence pour placer le curseur à a=$\sqrt10$
@gerard0 : Oui, 999 mètres sont de l'ordre de la centaines de mètres.
@biely : Dans un exercice, si on donne une définition, on l'applique et c'est tout.
900 mètres sont de l'ordre de la centaines de mètres.
Je dis que quand on donne une définition, on l'applique : @kioups, tu penses que les élèves sont perdus avec ça ?
Il faut bien une définition pour définir l'ordre de grandeur de 1 000, par exemple, ou encore de 600. On applique la définition et c'est tout.
Bon, tu es déjà intervenu là dessus avec des arguments de physicien pour une notion très floue et pa mathématique du tout ... C'est ton problème. Mais ne demande pas aux autres de trouver cette définition utile.
Cordialement.
Je parle de la définition mathématique !
Une définition du type suivant me conviendrait bien:
L'ordre de grandeur de $x$ est le nombre de la forme $A\times10^n$ le plus proche, où $A \in \{1 ... 9\}$ et $n \in \mathbb{Z}$ (et $A \in \{-9 ... -1\}$ si $x<0$ et enfin $0$ si $x=0$).
Cordialement,
Rescassol
Il faudrait mettre le "curseur" à 5,5 ou $\sqrt10$ mais pas à 5, à moins de vouloir couper la poire en deux si j'ose dire...:-D
La justification de 5 serait que 5 est la médiane de la série 1;2;3;4;5;6;7;8;9 mais on s'éloigne un peu de la première définition.
Si on fait placer les points A(10) B(42,35) et C(100) l'élève voit bien que B est plus "proche" de A que de C mais si on doit placer les poins A(10) B(4,235*10) C(10^2) D(10^5) E(5,236*10^5) on utilise du papier logarithmique et dans ce cas l'élève constate que B est plus "proche" de C que de A.
Rescassol
Oui, mais dans ce cas c'est synonyme d'arrondir à la centaine près etc.
Commençons par apprendre à lire des ordres de grandeurs ... et ensuite on apprendra à écrire des ordres de grandeurs.
Si je lis dans la presse que 'la fortune de telle personne est estimée à 37 Millions d'euros', je vois bien qu'on me donne un ordre de grandeur. ( je souligne le mot un, pronom indéfini)
Le type a pris la peine de donner 2 chiffres significatifs. Ca nous donne un intervalle assez précis.
Mais il a utilisé le mot 'estimé', donc il nous prévient que c'est sujet à marge d'erreur.
Paradoxalement, s'il avait dit 35 Millions d'euros, on a toujours 2 chiffres significatifs, mais ça nous donne un intervalle moins précis.
37M, je traduis ça par : entre 36M et 38M
Et 35M, je traduis ça par : entre 32M et 38M
Et si on nous dit que la distance Terre-Lune est de l'ordre de 100 000 km, alors je comprends qu'elle est probablement entre 50 000 km et 500 000 km.
On nous donne un seul chiffre significatif, et en plus, ce chiffre est un 1 ... Donc intervalle très large.
Je suis bien conscient que tout ça n'est pas très mathématique. Mais qui mieux que le prof de maths peut expliquer ces trucs non-mathématiques à des gamins.
Quand cette phase de lecture des ordres de grandeurs sera assimilée, on passera à l'exercice suivant, l'écriture.
A $50$ près quand on a plusieurs centaines, c'est raisonnable.
De la même façon, je peux dire que j'ai environ $70$ ans si j'ai entre $65$ et $75$ ans.
Cordialement,
Rescassol
Je préfère dire que la distance Terre-lune est de l'ordre de $400 000$ km.
L'erreur relative est acceptable. avec $50 000$, elle ne l'est pas.
Cordialement,
Rescassol
Je préfère ne pas donner ce genre de chose en contrôle, ça n’a aucun intérêt et ce n’est pas évaluable.
-- Schnoebelen, Philippe
Effectivement, on a réussi à faire des mesures assez précises de la distance Terre-Lune, et on sait donner un ordre de grandeur de 384400km ( c'est un ordre de grandeur ... sinon, drôle de coïncidence que le nombre soit justement un multiple de 100 !) Et donc on va dire 384400, ou 400000 ou peut-être même 500000 ... mais certainement pas 100000.
Mais on peut imaginer des mesures, pour lesquelles on est incapable de donner une estimation très précise, et donc on va donner un nombre du type 100000 ou 1000000 , une puissance de 10.
Et là, le lecteur, voyant que c'est une puissance de 10, traduit lui même cela par un intervalle de la forme [0.5 10^n, 5 10^n]
la formalisation de Rescassol me convient parfaitement, elle est conforme au sens que la majorité de mes collègues et moi-même donnons à la notion d'ordre de grandeur au quotidien.
Cordialement. Bonne journée à tous.
Wiki donne une définition.
-- Schnoebelen, Philippe